PC用は別頁
※中学校の数学で取り扱える三角形の面積について,このサイトには次の教材があります.
GoogleやYAHOO ! などから検索でこの頁に直接来たが前後関係がよく分からないという場合は,他の頁を先に見てください.  が現在地です.

...(携帯版)メニューに戻る...(PC版)メニューに戻る

三角形の面積
(中学1年または3年,面積比も登場する)
三角形の等積変形
(中学2年の中点の座標,直線の方程式も使う)
三角形の面積の二等分線
(中学2年の中点の座標,直線の方程式も使う)
放物線と三角形の面積1
(中学3年の放物線と直線の交点も使う)
放物線と三角形の面積2
(中学3年の放物線と直線の交点も使う)

== 放物線と三角形の面積2(入試問題) ==

【考え方1】
〇三角形の面積は,小学校のときから使っている公式

で求めることができます.
〇右のような図形において, △PAB△PBCの面積比を求めたいとき
ABBCをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと,高さPH=hが共通になるので
△PAB:△PBC
= :
=AB:BC
⇒ 高さが共通なら,三角形の面積比は底辺の長さの比に等しい

【例題1】
 右の図で,@は関数, Aは関数y=ax+bのグラフであり,@とAは2点A, Bで交わっている。点A, Bx座標がそれぞれ−3, 6であるとき,次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1) 略
(2) 定数a, bの値を求めよ。
(3) 線分AB上に点Pをとり,△OAPの面積が△OPBの面積の2倍となるようにしたい。このとき点Pの座標を求めよ。
(高知県2000年入試問題)
(解答)
(2) 点A, Bのグラフ上にあるから
A : x=−3のとき,
B : x=6のとき,
したがって,A(−3, 6), B(6, 24)
直線y=ax+bは2点A, Bを通るから
A : 6=−3a+b…(i)
B : 24=6a+b…(ii)
この連立方程式(i)(ii)を解いて,a, bを求める.
(ii)−(i)
18=9a
a=2
これを(i)に代入すると,b=12
y=2x+12…(答)
(3)
△OAP△OPBの面積を計算するときに,辺AP, BPを底辺に選ぶと,右図のように高さOHは共通になり等しい.
このとき,△OAP△OPBの面積比は底辺AP, BPの長さの比になる.
右図のように縦線と横線をひくと,相似図形の性質から横線すなわちx座標の差が2 : 1になる.
x座標を
A(−3) → P(3) → B(6)
とするとx座標の差は6:3=2:1になる.
Py=2x+12上にあって,x=3だから
y=2×3+12=18
P(3, 18)…(答)

※元の問題は記述式問題ですが,web上での読者の操作性をよくするために,このサイトでは,独自に選択問題にしています.選択肢の中から正しいものを1つクリックしてください.問題や選択肢に疑問があるときは,原著作者を煩わすことなく,このサイトの管理人に質問してください.
【問題1】
 右の図で,曲線はy=x2のグラフであり,グラフ上に,x座標が−1である点Aをとります。点Aを通る傾き1の直線と曲線との交点をBとし,直線AB上に,x座標が正である点Pをとります。
 △OAB△OBPの面積が等しいとき,点Pの座標を求めなさい。
(埼玉県2000年入試問題)
(正しいものをクリック.だたし,暗算ではできません.別途計算用紙を使って十分考えてから答えてください.)

【考え方2】
 三角形の面積は,小学校のときから使っている公式

で求めることができます.
(1) 右図においてABx軸に平行であるとき
△ABCの面積を求めるには
底辺をx軸に平行なABに選ぶと計算が楽になります.
底辺の長さ:AB=c−a
このとき,高さはA, BCy座標の差だから
高さ:b−f
結局
△ABC=

(2) 右図において△DOFの面積を求めたいとき
△DOE△OFEに分けて求めると,どちらもy軸上の線分OEを底辺に選ぶと計算が楽になります.
△DOEは底辺をOEとすると,高さはDx座標(の符号を正に書き換えたもの)になり
△DOE=
△OFEは底辺をOEとすると,高さはFx座標になり
△OFE=
結局,△DOF==

【問題2】
 右の図で,曲線はのグラフであり,2点A, Bはこの曲線と直線y=8との交点で,点Aからx軸に垂線ACをひきます。また,点Pは,この曲線上を原点Oから点Bまで動きます。△PAC△PABの面積が等しくなるとき,点Pの座標を求めなさい.
(埼玉県1999年入試問題)
(正しいものをクリック.だたし,暗算ではできません.別途計算用紙を使って十分考えてから答えてください.)

【問題3】
 右の図のように,関数のグラフ上に2点A, Bがあり,点A, Bx座標はそれぞれ4, −6である。
関数のグラフ上に点Pをとり,2点A, Pを通る直線がy軸と交わる点をQとするとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい。ただし,点Px座標は点Ax座標より大きいものとする。
(1) 点Px座標が6のとき,点Qy座標を求めなさい。
(2) 点Aが線分PQの中点となるとき,△BOP△ABQの面積の比を求めなさい。
(千葉県1999年入試問題)
(1) x=6を代入すると,y=9になるからP(6, 9)
 x=4を代入すると,y=4になるからA(4, 4)
 2点A(4, 4), P(6, 9)を通る直線の方程式を
y=ax+b
とおいてa, bを求める.
A(4, 4)を通るから4=4a+b…(i)
P(6, 9)を通るから9=6a+b…(ii)
(i),(ii)を解くと
Qy座標は−6…(答)
(2) (正しいものをクリック.だたし,暗算ではできません.)

【問題4】
 右の図は,2つの関数y=x2…(1) y=ax2 (a<0)…(2)のグラフである。
 また,点A, B, C, Dはそれぞれx=2およびx=−1における関数(1),(2)のグラフ上の点である。
 このとき,次の各問いに答えなさい.
問1問2(略)
問3 点(2, 0)E,点(−1, 0)Fとする。台形ABFEと台形CDEFの面積の比が3 : 2となるように,aの値を求めなさい。
(沖縄県2000年入試問題)

【問題5】
 右の図のように,関数のグラフ上に,x座標がそれぞれ−4, 2となる点A, Bをとる。このとき,次の(1),(2)の問いに答えよ。
(1) 直線ABの式を求めよ。
(2) 直線ABy軸との交点をCとする。また,関数
のグラフ上に点Pをとって,△OCPの面積が△OABの面積のになるようにしたい。このとき,点Pの座標を求めよ。ただし,Pは原点OAの間にとるものとする。
(新潟県1999年入試問題)
(1) Ay座標は
  By座標は
 2点ABを通る直線の方程式をy=ax+bとおくと
A(−4, 4)を通るから
4=−4a+b…(i)
B(2, 1)を通るから
1=2a+b…(ii)
(i)(ii)を解くと,
ABを通る直線の方程式は…(答)
(2) (正しいものをクリック.計算用紙が必要です.)

【問題6】
 右の図で放物線(1)はy=2x2,直線(2)はy=ax+ba>0, b>0),直線(3)はy=bのグラフであり,点Pは(2)と(3)の交点,点Q, Rは(1)と(2)の交点,点S, Tは(1)と(3)の交点である。
 次の(1)〜(2)に答えなさい。
(1)(2)略
(3) 点Qx座標が−1△PQT△PRSの面積比が2 : 3のとき,直線(2)の式を求めなさい。
(青森県1999年入試問題)

【問題7】
 右の図のように,関数y=ax2のグラフ上にx座標が−4, 2である2点A, Bがある。
 次の(1),(2)の問いに答さない。
(1) 点Ay座標をaを使って表しなさい。
(2) 直線ABが直線y=−xに平行であるとき,次の@〜Bの問いに答えなさい。
@ aの値を求めなさい。
A △AOBの面積を求めなさい。
B 点Bを通る直線lと線分AOとの交点をCとする。△ACBの面積が3になるとき,直線lの式を求めなさい。
(大分県2000年入試問題)
(1) 16a…(答)
(2) @ A12…(答)
B(次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.)

【円錐の体積の公式】
 右図のような,底面の半径がrで高さがhである円錐について
底面積をS,体積をVとおくと
…(1)
底面は円で,底面積はπr2になるから
…(2)

※この公式は高校数学の積分を使えば証明できます.
小中学生では,よく出てくる形だということで,高校で習うものを「先取り」して「覚えて使う」ようにします.
【例題2】
 右のT図のように,関数y=3x2のグラフがある。このグラフ上に点Aからx軸,y軸にひいた垂線と,座標軸との交点をそれぞれB, Cとする。点Ax座標が2であるとき,次の問い(1)・(2)に答えよ。
(1) △OACy軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(2) 略
(京都府1999年入試問題)
(解答)
(1) 右図のような円錐(上端が底面)になる.
 Ax座標が2だから,y座標は3×22=12
 底面の半径はAC=2
 円錐の高さはCO=12
 円錐の体積は
…(答)


【問題8】
 右の図で放物線(1)はy=2x2,直線(2)はy=ax+ba>0, b>0),直線(3)はy=bのグラフであり,点Pは(2)と(3)の交点,点Q, Rは(1)と(2)の交点,点S, Tは(1)と(3)の交点である。
 次の(1)〜(2)に答えなさい。
(1)(3)略
(2) b=4のとき,△OTPy軸を軸として,1回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし,座標軸の単位の長さを1cmとする。
(青森県1999年入試問題)
(2) 次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.)

【問題9】
 右の図のように,関数y=ax2aは定数)のグラフ上に2点A, Bがあり,Aの座標は(−2, −2)である。また,点Oは原点,点Pは直線ABy軸との交点であり,AP:PB=1:2である。このとき,次の各問いに答えなさい。
(1) aの値を求めよ。
(2) 直線ABの式を求めよ。
(3) 3点O, A, Pを頂点とする三角形がx軸を軸として1回転してできる立体の体積を求めよ。ただし,円周率はπとする。
(熊本県2000年入試問題)
(1) 
(2) y=−x−4
(3) 次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.)

...(携帯版)メニューに戻る

...メニューに戻る