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== 文字式の利用 ==
文字式を用いて数についての,いろいろな性質を調べることができます.
【用語】
○「偶数」とは,他の整数の2倍になっている整数をいいます.
nを整数とするとき,m=2nと書ける整数mは偶数です.
mを偶数とするとき,m=2nとなる整数nが必ずあります.
【例】
8=2×410=2×512=2×61024=512×2
(注) それぞれの偶数について上のnの値は変わります.

○「奇数」とは,偶数−1(または 偶数+1)の形に書ける数のことです.
nを整数とするとき,m=2n−1と書ける整数mは奇数です.
mを奇数とするとき,m=2n−1となる整数nが必ずあります.
【例】
9=2×5−111=2×6−113=2×7−1
999=2×500−1
(注) それぞれの奇数について上のnの値は変わります.
※ 奇数mm=2n+1nは整数)の形でも表せますが,nを正の整数とすると,m=3,5,7,...となって,この形ではm=1が表せません.
これに対して,m=2n−1nは正の整数)とすると,m=1,3,5,7,...となって,すべての正の奇数が表せます.
【解説】
奇数+奇数が偶数になることは,どのようにすれば調べられるのでしょうか.

▼まずい方法:
1+1=2 , 1+3=4 , 1+5=6 , 1+7=8 , ··· (終わりまで調べることはできません)
次に3+5=8 , 3+7=10 , 3+9=12 , 3+11=14 , ··· (これも終りまで調べつくすことはできません)
さらに5+7=12 , 5+9=14 , 5+11=16 , 5+13=18 , ··· (これもどこまでいっても終わりません)
⇒「整数は無限にある」ので,このように「1つずつ調べる方法」ではいつまでたっても「全部調べる」ことはできません.
かなりがんばって調べた人でも100万以上の数とか1000万以上の数は調べていないでしょう.

◎よい方法:
文字式を利用すると,「1つずつの数字について調べなくても」,文字式が「代表して」調べてくれます.
【例】 (奇数)+(奇数)が必ず偶数になることの説明
「奇数は2a−1と書けます.( aは整数)
もう1つの奇数は2b−1と書けます.( bは整数)
ここで(2a−1)+(2b−1) =2a+2b−2=2(a+b−1)
a+b−1は1つの整数だから 2(a+b−1)は偶数になる.」

※初歩的な疑問に対する答
[問] 2つの奇数を表すために「なぜ2a−12b−1のように文字を変えるのか」「2a−1が奇数を表すのなら,2つとも2a−1で表してはいけないのか」
[答] 2つとも2a−1で表すと,
a=1のとき,1+1
a=2のとき,3+3
a=3のとき,5+5
のように「2つの奇数が等しい場合しか証明していない」ことになります.
これに対して,2a−12b−1のように文字を変えると,abが等しくない場合でも,等しい場合でも表すことができます.

【例題】
 偶数と奇数の積は偶数になることを示してください.
(解答)
 偶数をm=2a,奇数をn=2b−1とおくと
これらの積は
 mn=2a(2b−1)=2{ a(2b−1) }
となるから,偶数になる.

【問題】 次の各式は,下のどの性質の説明になっていますか.
下の選択肢をクリックしてください.(※ 文字式の展開を習っていないとき、元の式と結果の式だけを見てください。)
(1)
2a+2b=2(a+b)

(偶数)+(偶数)は偶数になる
(奇数)+(奇数)は偶数になる
(偶数)+(奇数)は奇数になる
(偶数)×(偶数)は偶数になる
(2)
(2a−1)(2b−1)=4ab−2a−2b+1=2(2ab−a−b)+1

(偶数)+(偶数)は偶数になる
(奇数)+(奇数)は偶数になる
(奇数)×(奇数)は奇数になる
(偶数)×(偶数)は偶数になる
(3)
(2a−1)2−(2b−1)2
=4a2−4a +1−4b2+4b−1
=4(a2−a−b2+b)

(奇数)2-(奇数)2は4の倍数になる
(奇数)−(奇数)は偶数になる
(偶数)2-(偶数)2は偶数になる


【用語】
各位の数の和とは,例えば次のようなものです.
【例1】
 456すなわち4×100+5×10+6では
100 の位の数は410の位の数は51 の位の数は6です.このとき 456の「各位の数の和」は4+5+6=15とします.

【例2】
 27すなわち2×10+7 では
10 の位の数は21の位の数は7です.このとき 27 の「各位の数の和」は2+7=9とします.

【例3】
 100の位の数がa10の位の数がb1 の位の数がcであるような数は100a+10b+cと書けますが,各位の数の和はa+b+c です.
 (ただし,a19b , c09 の数字です.)

【問題】 次の各式は,下のどの性質の説明になっていますか.
下の選択肢をクリックしてください.
(4)
10a+b=3(3a)+(a+b)

2けたの整数について
各位の数の和が3の倍数なら,その数は3の倍数になる
各位の数の差が3の倍数なら,その数は3の倍数になる

(5)
(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)

2けたの整数について
各位の数の和は2の倍数になる
各位の数の和が11の倍数なら,その数は11の倍数になる
ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は11の倍数になる
ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は2の倍数になる

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