nを整数とするとき，m=2nと書ける整数mは偶数です．
mを偶数とするとき，m=2nとなる整数nが必ずあります．
【例】
8=2×4 ，10=2×5，12=2×6，1024=512×2
（注）　それぞれの偶数について上のnの値は変わります．

nを整数とするとき，m=2n−1と書ける整数mは奇数です．
mを奇数とするとき，m=2n−1となる整数nが必ずあります．
【例】
9=2×5−1 ，11=2×6−1，13=2×7−1，
999=2×500−1
（注）　それぞれの奇数について上のnの値は変わります．
※　奇数mはm=2n+1（nは整数）の形でも表せますが，nを正の整数とすると，m=3,5,7,...となって，この形ではm=1が表せません．
これに対して，m=2n−1（nは正の整数）とすると，m=1,3,5,7,...となって，すべての正の奇数が表せます．

1+1=2 , 1+3=4 , 1+5=6 , 1+7=8 , ··· （終わりまで調べることはできません）
次に3+5=8 , 3+7=10 , 3+9=12 , 3+11=14 , ··· （これも終りまで調べつくすことはできません）
さらに5+7=12 , 5+9=14 , 5+11=16 , 5+13=18 , ··· （これもどこまでいっても終わりません）
⇒「整数は無限にある」ので，このように「１つずつ調べる方法」ではいつまでたっても「全部調べる」ことはできません．
かなりがんばって調べた人でも100万以上の数とか1000万以上の数は調べていないでしょう．

文字式を利用すると，「1つずつの数字について調べなくても」，文字式が「代表して」調べてくれます．
【例】　（奇数）＋（奇数）が必ず偶数になることの説明
「奇数は2a−1と書けます．（ aは整数）
もう１つの奇数は2b−1と書けます．（ bは整数）
ここで(2a−1)+(2b−1) =2a+2b−2=2(a+b−1)
a+b−1は１つの整数だから 2(a+b−1)は偶数になる．」

［問］　２つの奇数を表すために「なぜ2a−1と2b−1のように文字を変えるのか」「2a−1が奇数を表すのなら，２つとも2a−1で表してはいけないのか」
［答］　２つとも2a−1で表すと，
のように「２つの奇数が等しい場合しか証明していない」ことになります．
これに対して，2a−1と2b−1のように文字を変えると，aとbが等しくない場合でも，等しい場合でも表すことができます．

【例題】
　偶数と奇数の積は偶数になることを示してください．

(1)
2a+2b=2(a+b)

(2)
(2a−1)(2b−1)=4ab−2a−2b+1=2(2ab−a−b)+1

(3)
(2a−1)2−(2b−1)2
=4a2−4a +1−4b2+4b−1
=4(a2−a−b2+b)

(4)
10a+b=3(3a)+(a+b)

(5)
(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)