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文字式の利用 → 携帯版は別頁

  文字式を用いて数についての,いろいろな性質を調べることができます.

【用語】

偶数」とは,他の整数の2倍になっている整数をいいます.

n を整数とするとき, m=2n と書ける整数 m は偶数です. 
m を偶数とするとき,m=2n となる整数 n が必ずあります.
 例 8=2×410=2×512=2×61024=512×2
   注 それぞれの偶数について上の n の値は変わります.

奇数」とは,偶数−1(または 偶数+1)の形に書ける数のことです.
n を整数とするとき,m=2n - 1 と書ける整数 m は奇数です. 
m を奇数とするとき,m=2n - 1 となる整数 n が必ずあります.
 例 9=2×5 - 111=2×6 - 113=2×7 - 1
   999=2×500 - 1
   注 それぞれの奇数について上の n の値は変わります.

【解説】

奇数+奇数が偶数になることは,どのようにすれば調べられるのでしょうか.

まずい方法:

 1+1=2 , 1+3=4 , 1+5=6 , 1+7=8 , ··· (終わるまでする?)
 次に 3+5=8 , 3+7=10 , 3+9=12 , 3+11=14 , ··· (終わるまでする?)
 さらに 5+7=12 , 5+9=14 , 5+11=16 , 5+13=18 , ··· (終わるまでする?)
 このような方法ではいつまでたっても「全部調べる」ことはできません.
 かなりがんばって調べた人でも 1415926535897932684617264171+141421356173205089316227 は調べていないでしょう.

よい方法:

文字式を利用すると,「1つずつの数字について調べなくても」,文字式が「代表して」調べてくれます.
 
例 (奇数)+(奇数)が必ず偶数になることの説明
  「奇数は 2a - 1 と書けます.( a は整数)
  もう1つの奇数は 2b - 1 と書けます.( b は整数)
  ここで (2a - 1)+(2b - 1) =2a+2b - 2=2(a+b - 1)
  a+b - 1 は1つの整数だから 2(a+b - 1) は偶数になる.」

                  なぜ2a−1と2b−1と書くのか
【問題】
 次の各式は,右のどの性質の説明になっていますか.
 

(1)  
 2a+2b=2(a+b)
(偶数)+(偶数)は偶数になる  
(奇数)+(奇数)は偶数になる  
(偶数)+(奇数)は奇数になる  
(偶数)×(偶数)は偶数になる 
 
(※ 文字式の展開を習っていないとき、元の式と結果の式だけを見てください。)
(2) 
 (2a - 1)(2b - 1) 
=4ab - 2a - 2b+1 
=2(2ab - a - b)+1
(偶数)+(偶数)は偶数になる 
(奇数)+(奇数)は偶数になる 
(奇数)×(奇数)は奇数になる 
(偶数)×(偶数)は偶数になる
 
(※ 文字式の展開を習っていないとき、元の式と結果の式だけを見てください。)
(3) 
 (2a - 1)2 - (2b - 1)2 
=4a2 - 4a +1 - 4b2+4b - 1 
=4(a2 - a - b2+b)
(奇数)2-(奇数)2は4の倍数になる 

(奇数)−(奇数)は偶数になる 

(偶数)2-(偶数)2は偶数になる

 

【用語】

 各位の数の和とは,例えば次のようなものです.
 例1 456 すなわち 4×100+5×10+6 では
    100 の位の数は 410 の位の数は 51 の位の数は 6 です.
    このとき 456 の「各位の数の和」は 4+5+6=15  とします.
 例2 27 すなわち 2×10+7 では
    10 の位の数は 21 の位の数は 7 です.
    このとき 27 の「各位の数の和」は 2+7=9 とします.
 例3
 100 の位の数が a10 の位の数が b1 の位の数が c であるような数は
 100a+10b+c と書けますが,各位の数の和はa+b+c です.
 (ただし,a19b , c09 の数字です.)
【問題】
 次の各式は,右のどの性質の説明になっていますか.
 

(4)  
 10a+b=3(3a)+(a+b) 
2けたの整数について 

 各位の数の和が3の倍数なら,その数は3の倍数になる 
 各位の数の差が3の倍数なら,その数は3の倍数になる

 
 
(5) 
 (10a+b)+(10b+a) 
=11(a+b)
2けたの整数について 
 各位の数の和は2の倍数になる 
 各位の数の和が11の倍数なら,その数は11の倍数になる 
 ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は11の倍数になる 
 ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は2の倍数になる
 




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