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■確率の加法定理,余事象の確率≪解説≫
《要点》
【確率の加法定理】
AB=のとき,( A , B が排反事象のとき)
________P(AB)=P(A)+P(B)

【一般の加法定理】
__P(AB)=P(A)+P(B)−P(AB)
※ AB に共通部分がないとき,これらは排反事象であるという.
 排反事象を表わす書き方はいろいろあり,「両立できない」「同時には成り立たない」「共通部分がない」「AB=」など同じ意味になる.

※ 「一般の加法定理」は,個数定理(和集合の要素の個数に関するもの)を全体集合の要素数Nで割ったものである.(Nで割ると確率になる.)
________n(AB)=n(A)+n(B)−n(AB)

________⇒ = +

________⇒ P(AB) = P(A)+P(B)−P(AB)
例1
 「袋の中に赤玉3個,白玉2個が入っているとき,この中から同時に2個取り出して同じ色の玉が出る確率」を求めるには
(解答)
 「同じ色の玉が出る」ことを「赤玉が2つ」の場合と「白玉が2つ」に分けて考える.

 赤玉が2つ出る確率は =

 白玉が2つ出る確率は =

+ = を答とする.


 この例では,A 「赤玉が2つ出る」,B 「白玉が2つ出る」,とするとき,AB= なので(AB の共通部分がない),どちらか一方が起こる確率は「足し算で求められる」.
例2
 「1から100までの整数が書かれている100枚のカードから1枚を抽出したとき,その数が3または5で割り切れる確率」を求めるには
(解答)
100÷3=33・・・3
100÷5=20
100÷15=6・・・10
3の倍数となる確率は

5の倍数となる確率は

15の倍数となる確率は

+ = を答とする.


 この例では,A 「3の倍数」,B 「5の倍数」,とするとき,AB の共通部分があるので,単に P(A)+P(B) を計算すると二重に足してしまう部分ができる.そこで,二重の部分 P(AB) を引いて答にする.

《要点》
【余事象の確率】

________P()=1−P(A)

※ 「少なくとも1つ」 ⇔ 余事象を考える

例3
 「3個の硬貨を投げるとき,少なくとも1枚表が出る確率」を求めるには
3枚
2枚
2枚
1枚
2枚
1枚
1枚
0枚
単純に計算すれば
表が1枚出るのは3通り,
表が2枚出るのは3通り,
表が3枚出るのは1通り,
  ⇒ 計7通りとなるが,

表が0枚出るのは1通りだから
  ⇒ 8-1=7通り で求められる.
 このように A の確率を直接計算する代わりに,P()=1−P(A) で計算した方が簡単なとき,この定理を使う.
 上の例では, を「表が1枚以上出る」,A を「表が出ない(=0枚)」としているが,逆に使ってもよい: P(A)=1−P() ※ 余事象の確率は「少なくとも1つ」という言葉と結びついていることが多い.
「少なくとも1つ」(=1以上)の余事象は「0個」になる.


「少なくとも2つ」(=2以上)の余事象は「0または1」
「多くとも4つ」(=4以下)の余事象は「5以上」
「多くとも5つ」(=5以下)の余事象は「6以上」

A 以外を表わす記号 は,集合の記号では「補集合」と呼ばれ,確率では「余事象」と呼ばれる.


[確率の加法定理,一般の加法定理]
≪問題1.1≫
赤玉3個,白玉2個の合計5個の玉が入っている袋から同時に2個取り出すとき,同じ色の玉が出る確率を求めよ.






≪問題1.2≫
100以上200未満の整数が書かれた100枚のカードから1枚を取り出すとき,書かれた数字が3または5で割り切れる確率を求めよ.







≪問題1.3≫
赤玉2個,白玉2個計4個が入っている袋から玉を取りだして順に並べるとき,同じ色の玉は隣り合わない確率を求めよ.






≪問題1.4≫
赤玉2個,白玉2個,黄玉2個計6個が入っている袋から玉を取りだして順に並べるとき,同じ色の玉は隣り合わない確率を求めよ.








[余事象の確率]
≪問題2.1≫
10本のくじの中に当たりくじが2本入っている.この中から同時に3本のくじを引いたとき,少なくとも1本が当たりくじである確率を求めよ.






≪問題2.2≫
3個のさいころを同時に投げたとき,少なくとも1つ6の目が出る確率を求めよ.







≪問題2.3≫
赤玉6個白玉4個の計10個の玉が入っている袋から同時に3個の玉を取り出すとき,赤玉が少なくとも2個出てくる確率を求めよ.






≪問題2.4≫
5枚の硬貨を同時に投げるとき,表の出る枚数が4枚以下となる確率を求めよ.






≪問題2.5≫
赤玉3個,白玉3個,黄玉2個の計8個の玉が袋に入っている.この中から同時に3個取り出すとき,出た玉の色が2色となる確率を求めよ.






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■[個別の頁からの質問に対する回答][確率の加法定理,余事象の確率について/17.1.17]
問題2の(5)のイ)の(答)の中で、3色となるときの分子の最後は、3C2ではなく2C1だと思います。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.