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== ケーリー・ハミルトンの定理(2) ==

※ ケーリー・ハミルトンの定理は,使えない場面では使わないことが大切です。
[要点]
A=について,ケーリー・ハミルトンの定理から
<いえること>
p=a+d,q=ad−bcとおくと2-pA+qE=0

<いえないこと>
a+d=p,ad−bc=q ×× 2-pA+qE=0
例(*):出てくる場面>
A=について,
2-7A+6E=0 のとき a+d=7,ad−bc=6 といえるか?

→ いえない。


まず,次の関係に注意します。
」のときの値は?

(ア)
のとき (が単位行列の定数倍でないとき)
と言える.
(証明)
ならばすなわちAが単位行列の定数倍
となり矛盾を生じるから,
でなければならない.

このとき,原式にを代入すると
より

以上より,が成り立つ

(イ)
のとき (が単位行列の定数倍であるとき)とは限らない
(証明)

すなわち

はx=0,y=0でなくとも成立する。
(1,1)成分をみればのとき常に成り立つことが分かる

たとえば,の場合を考えてみると,
となり
,などx=0,y=0でない解は幾らでもある
上の例(*)の場合>
与えられた条件から
2-7A+6E=0…(1)
ケーリー・ハミルトンの定理から
2-(a+d)A+(ad−bc)E=0…(2)
以上の2つが成立することは言える.

そこで
(1)-(2)
(a+d−7)A+(6-ad+bc)E=0

(ア) A≠kEのとき
a+d=7,ad−bc=6・・答
(イ) A=kEのとき
A=とおくと、
(2k−7)+(6-k2=0
(1,1)成分,(2,2)成分から
(2k−7)k+6-k2=0
2-7k+6=0
k=1,6
A=のとき,
各々
2-7A+6E=0
は成立する.
a+d=2,ad−bc=1・・答
及び,a+d=12,ad−bc=36・・答

このようにして,A≠kEのときはa+d=7,ad−bc=6が成り立つが,
A=kEのとき,a+d=7,ad−bc=6以外の値になるので,
2-7A+6E=0 のとき a+d=7,ad−bc=6 とは限らない

※A=kEの可能性がある問題は,結局,成分計算となる
例題1
A=が A2-A-6E=0 を満たすとき a+d,ad−bc の値を求めなさい。

答案例
条件から,A2-A-6E=0・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からA2-(a+d)A+(ad-bc)E=0・・・(2)
(1)-(2)
(a+d-1)A+(-6-ad+bc)E=0・・・(3)
(ア) A≠kEのとき,
 (3)より,a+d=1,ad-bc=-6・・・答
(イ) A=kEのとき,
A=とおくと,
(2k-1)+(-6-k2)E=0
(1,2)成分,(2,1)成分は成立。
(1,1)成分,(2,2)成分から
2k2-k-6-k2=0
2-k-6=0
k=3,-2
k=3のとき,a+d=6,ad-bc=9・・答
k=-2のとき,a+d=-4,ad-bc=4・・答
※A=kEの可能性がない問題は,一言断ればケーリー・ハミルトンだけで済む
例題2
A=について A2+xA+yE=0 が成り立つとき,
x=[ア],y=[イ]
答案例
条件から,A2+xA+yE=0・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からA2-5A+2E=0・・・(2)
(1)-(2) (x+5)A+(y−2)E=0
A≠kE だから・・・(記述式答案では,一言断ることが大切)
 x=−5,y=2・・・答

[問題]
≪1≫
A=が A−4A+3E=0を満たすとき,a+d,ad−bc の値を求めなさい。

条件から,A2-4A+3E=0・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からA2-(a+d)A+(ad-bc)E=0・・・(2)
(1)-(2)
(a+d-4)A+(3-ad+bc)E=0・・・(3)
(ア) A≠kEのとき,
 (3)より,a+d=,ad-bc=・・・答
(イ) A=kEのとき,
A=とおくと,
(2k-4)+(3-k2)E=0
(1,2)成分,(2,1)成分は成立。
(1,1)成分,(2,2)成分から
2k2-4k+3-k2=0
2-4k+3=0
k=3,1
k=3のとき,a+d=,ad-bc=・・答
k=1のとき,a+d=,ad-bc=・・答
≪2≫
A=について,A2+xA+yE=0ならば,
x=,y=


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