■ベクトルのなす角携帯版

■[要点]

○ · =||||cosθ を用いれば
· の値  || , || , cosθ の値 により,· の値を求めることができる.
○ さらに,cosθ = のように変形すれば,

cosθ の値  · , || , || の値 により,cosθ の値を求めることができる.
○ さらに,cosθ = 1 , , , , 0 ,− ,− , -1 のときは,筆算で角度 θ まで求められる.
これ以外の値については,通常(三角関数表や電卓がないとき),cosθ の値は求まるが, θ までは求まらない.


○ ベクトルの垂直条件(直交条件)
, のとき,
· =0 ←→ 
理由  · =0←→cosθ=0←→θ=90°
※垂直(直角,90°)は1つの角度に過ぎないが,実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多い
■[例題]
(1)
=(, 1) ,=(0 , 2) のとき , のなす角θ を求めなさい。
答案例
||==2
||==2
· =·0+1·2=2
だから, cosθ =
θ=60°
…(答)
(2)
=(1 , 2) ,=(−1 , 3) のとき , のなす角θ を求めなさい.
答案例
||==
||==
· =1·(−1)+2·3=5
だから, cosθ =
θ=45°
…(答)
(3)
=(1 , 1) ,=(1 , 2) のとき , のなす角をθ とするとき,
cosθ の値を求めなさい.
, のなす角の余弦を求めなさい.)
答案例
||==
||==
· =1·1+1·2=3
だから, cosθ =
…(答)
(4)
=(1 , 2) ,=(t , 1) のとき , が垂直となるように定数 t の値を定めなさい.
答案例
· =1·t+2·1=t+2=0 より t=−2
…(答)
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■[個別の頁からの質問に対する回答][ベクトルのなす角について/17.1.8]
図形など図があればもっといいと思う
=>[作者]:連絡ありがとう.現在筆者は次のように整理しています.
(1) 高校数学で習うベクトルには,図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります.ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが,実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第1の目標です.
(2) 3次元,4次元,5次元・・・今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが,そう言わないだけです.
生徒名x(国語)y(数学)z(英語)
a232
b523
c314
d352
e・・・・・・・・・
f445
左の表で生徒ごとの3教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには,行ベクトルなどの個人ごとの「3次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが1つの方法です.また,教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには,列ごとに見たベクトルなどの「6次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります(左の表で6次元というのは縦に6個の数字が並んでいるから:6人だから).
このようにして,実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており,図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります.(この頁参照)
(3) ご質問の頁は2次元ベクトルを扱っていますので,図を描こうと思えば描けますが,図があっても問題が解けるわけではありません.次のような意味合いで,1つや2つは図があってもよいとは思います.
 3.1) 答が2つあって迷うような場合とか,方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に,図で検証することができる.
 3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが,ワンポイントの図があればリラックスでき,結果的に学習が進む.