ベクトルのなす角

■ベクトルのなす角

[要点]

○　· =||||cosθ を用いれば

· の値　　|| , || , cosθ の値により，· の値を求めることができる．

○　さらに，cosθ = のように変形すれば，

cosθ の値　　· , || , || の値により，cosθ の値を求めることができる．

○　さらに，cosθ = 1 , , , , 0 ,− ,− , -1 のときは，筆算で角度 θ まで求められる．

これ以外の値については，通常（三角関数表や電卓がないとき），cosθ の値は求まるが， θ までは求まらない．

○　ベクトルの垂直条件(直交条件)

≠ , ≠ のとき，
· =0　←→　⊥
理由　　· =0←→cosθ=0←→θ=90°
※垂直(直角，90°)は１つの角度に過ぎないが，実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多い

［例題］

(1)
=(, 1) ，=(0 , 2) のとき , のなす角θ を求めなさい。

答案例

||==2
||==2
· =·0+1·2=2

だから，

cosθ =
θ=60°

…(答)

(2)
=(1 , 2) ，=(−1 , 3) のとき , のなす角θ を求めなさい．

答案例

||==
||==
· =1·(−1)+2·3=5

だから，

cosθ =
θ=45°

…(答)

(3)
=(1 , 1) ，=(1 , 2) のとき , のなす角をθ とするとき，
cosθ の値を求めなさい．
（ , のなす角の余弦を求めなさい．）

答案例

||==
||==
· =1·1+1·2=3

だから，

cosθ =

…(答)

(4)
=(1 , 2) ，=(t , 1) のとき , が垂直となるように定数 t の値を定めなさい．

答案例

· =1·t+2·1=t+2=0

より

t=−2

…(答)