※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

A2−(a+d)A+(ad−bc)E=0

（証明）･･･成分計算を気長に行えばできます。
A=のとき，
A2−(a+d)A+(ad−bc)E
=+
+=

ケーリー・ハミルトンの"定理自身"は上記のように成分計算で示しますが，ひとたびこの定理が証明できると，ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列での変形が可能となります。［行列は行列でやる。］
ただし，ケーリー・ハミルトンの定理で何でもできるわけではないので，行き詰まれば成分計算を併用します。

A2=(a+d)A−(ad−bc)E

【例】
A=のとき，
a+d=1 , ad−bc=−2だから，
A2−A−2E=0
これを用いれば，
A2=A+2E…(1)
となって，A2を行列の積を直接計算せずに求めることができる． さらに，A3を求めるには，両辺にAをかけて，
A3=A2+2A
(1)を繰り返し適用すると
=(A+2E)+2A=3A+2E= 　同様にして，
A4=A3A=(3A+2E)A=3A2+2A
=3(A+2E)+2A=5A+6E=
などと変形できます。

【要約】
　行列の計算には２つの処理方法があります。
　　1　成分で行う方法(何でもできるが，遅い)
　　2　行列で行う方法(使えるところは速い)　

--計算の方針--
使えるところは，新幹線(ケーリー・ハミルトン)で行く，
残りは，普通列車(成分計算)で行く。

［数］　次数を１次ずつ下げる方法--
【例】　ｘ＝１+√2　のとき，ｘ^２，ｘ^３，ｘ^４の値を求めなさい。

＝１２ｘ＋５・・(4)
ｘ²＝2（1+√2)+1＝3+2√2
ｘ³＝5(1+√2)+2＝７＋５√2
ｘ^４＝12(1+√2)+5＝17+12√2

［行列］ 次数を１次ずつ下げる方法--
【例】　Ａ＝のとき，Ａ^２，Ａ^３，Ａ^４を求めなさい。

＝１２Ａ＋５Ｅ・・(4)
Ａ^２＝２+＝
Ａ^３＝５+２＝
Ａ^４＝12+４＝

［数］--商と余りの関係を利用する方法--
(上記をまとめて行う)
【例】　Ｘ＝２−ｉ　のとき，Ｘ^３−３Ｘ^２＋Ｘ＋３の値を求めなさい。

(一度に３次下げる)
Ｘ^３−３Ｘ^２＋Ｘ＋３＝−２・・・答

［行列］--商と余りの関係を利用する方法--
(上記をまとめて行う)
例　Ａ＝のとき，
Ａ^３−３Ａ^２＋Ａ＋３Ｅを求めなさい。

行列には割り算がないので，答案を清書するときは「掛け算と足し算・引き算だけでまとめなければならない」ことに注意

(Ｘ^３−３Ｘ^２＋Ｘ＋３)÷(Ｘ^２−４Ｘ＋５)＝ｘ＋１・・・　−２
Ｘ^３−３Ｘ^２＋Ｘ＋３＝(Ｘ^２−４Ｘ＋５)(ｘ＋１)−２
を参考にすると

(一度に３次下げる)
Ａ^３−３Ａ^２＋Ａ＋３Ｅ＝−２Ｅ＝・・答

≪１≫

Ａ＝のとき，Ａ^３−２Ａ^２＋３Ｅを求めなさい。

Ａ^３−２Ａ^２＋３Ｅ＝

≪２≫

Ａ＝のとき，Ａ^３−５Ａ^２＋７Ａを求めなさい。

Ａ^３−５Ａ^２＋７Ａ＝

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

問題２のA³−５A²＋7A は、A³−５A²＋７Eの間違いだと思います。（でないと答えが違う）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題と解答にはエラーはないが，解説図に数か所ボロボロのところがありましたので訂正しました．