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== ケーリー・ハミルトンの定理 ==

○ケーリー・ハミルトンの定理
2次の正方行列A=については,は次の関係式がつねに成り立ちます。これをケーリー・ハミルトンの定理といいます。
A2−(a+d)A+(ad−bc)E=0
(証明)・・・成分計算を気長に行えばできます。
A=のとき,
A2−(a+d)A+(ad−bc)E
=+
+=

ケーリー・ハミルトンの"定理自身"は上記のように成分計算で示しますが,ひとたびこの定理が証明できると,ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列での変形が可能となります。[行列は行列でやる。]
ただし,ケーリー・ハミルトンの定理で何でもできるわけではないので,行き詰まれば成分計算を併用します。

[応用]

A2=(a+d)A−(ad−bc)E
とみると,左辺は2次式で,右辺は1次式になります.
つまり,次数を下げる変形ができます。
これを使って,行列のn乗を次数を下げて計算することができます.
【例】
A=のとき,
a+d=1 , ad−bc=−2だから,
A2−A−2E=0
これを用いれば,
A2=A+2E…(1)
となって,A2を行列の積を直接計算せずに求めることができる.
さらに,A3を求めるには,両辺にAをかけて,
A3=A2+2A
(1)を繰り返し適用すると
=(A+2E)+2A=3A+2E=
 同様にして,
A4=A3A=(3A+2E)A=3A2+2A
=3(A+2E)+2A=5A+6E=
などと変形できます。
【要約】
 行列の計算には2つの処理方法があります。
  1 成分で行う方法(何でもできるが,遅い)
  2 行列で行う方法(使えるところは速い) 

--計算の方針--
使えるところは,新幹線(ケーリー・ハミルトン)で行く,
残りは,普通列車(成分計算)で行く。
 

○数値計算を参考にして行う行列計算

[数] 次数を1次ずつ下げる方法--
【例】 x=1+√2 のとき,x,x,xの値を求めなさい。

x=1+√2 ←→ x-1=√2 → (x-1)2=2
       ←→ x-2x-1=0・・・(1)
(1)より,x2=2x+1・・(2)
(2)より,x3=(2x+1)x=2x+x=2(2x+1)+x
       =5x+2・・(3)
(3)より,x=(5x+2)x=5x+2x=5(2x+1)+2x
=12x+5・・(4)
2=2(1+√2)+1=3+2√2
3=5(1+√2)+2=7+5√2
=12(1+√2)+5=17+12√2
[行列] 次数を1次ずつ下げる方法--
【例】 A=のとき,A,A,Aを求めなさい。
ケーリー・ハミルトンの定理により,A2-2A-E=0・・(1)
(1)より,A=2A+E・・(2)
(2)より,A=(2A+E)A=2A+A=2(2A+E)+A
 =5A+2E・・(3)
(3)より,A=(5A+2E)A=5A+2A=5(2A+E)+2A
=12A+5E・・(4)
=2+
=5+2
=12+4

[数]--商と余りの関係を利用する方法--
(上記をまとめて行う)
【例】 X=2−i のとき,X−3X+X+3の値を求めなさい。

X=2−i ←→ X−2=−i → (x−2)=−1
      ←→ X−4X+5=0・・(1)
(X−3X+X+3)÷(X−4X+5)=x+1・・・ −2
−3X+X+3=(X−4X+5)(x+1)−2・・(2)
(1)によりX−4X+5=0だから
(一度に3次下げる)
−3X+X+3=−2・・・答
[行列]--商と余りの関係を利用する方法--
(上記をまとめて行う)
例 A=のとき,
−3A+A+3Eを求めなさい。

ケーリー・ハミルトンの定理により,A2-4A+5E=0・・(1)
行列には割り算がないので,答案を清書するときは「掛け算と足し算・引き算だけでまとめなければならない」ことに注意
(X−3X+X+3)÷(X−4X+5)=x+1・・・ −2
−3X+X+3=(X−4X+5)(x+1)−2
を参考にすると
−3A+A+3E=(A2-4A+5E)(A+E)−2E・・(2)
(1)によりA2-4A+5E=0だから
(一度に3次下げる)
−3A+A+3E=−2E=・・答

【問題】
≪1≫
A=のとき,A−2A+3Eを求めなさい。
−2A+3E=
[ア]=,[イ]=
[ウ]=,[エ]=
≪2≫
A=のとき,A−5A+7Aを求めなさい。
−5A+7A=
[オ]=,[カ]=
[キ]=,[ク]=

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■[個別の頁からの質問に対する回答][ケーリー・ハミルトンの定理について/17.1.9]
問題2のA³−5A²+7A は、A³−5A²+7Eの間違いだと思います。(でないと答えが違う)
=>[作者]:連絡ありがとう.問題と解答にはエラーはないが,解説図に数か所ボロボロのところがありましたので訂正しました.