*** 高卒から大学初年度程度 ***
合成関数 逆関数 逆三角関数

双曲線関数 数列,関数の極限 関数の連続性

図１

【　グラフの平行移動　】　･･･(1)
　一般に，関数 y=f(x) のグラフを x 軸の正の向きに p， y 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は y=f(x−p)+q になる．

【　直角双曲線の平行移動　】　･･･(2)
　関数
.y=

のグラフを x 軸の正の向きに p， y 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
.y=+q

になる．

(2)の例：

y=+4 のグラフは，y= のグラフを x軸の正の向きに2，y 軸の正の向きに 4 だけ平行移動したものだから，次のようなグラフになる．

【　漸近線の方程式　】　･･･(3)
　y=+q の漸近線の方程式は，x=p 及び y=q

定義域は x<p , p<x
値域は y<q , q<y

【　xy=a の形での表示　】　･･･(4)
　関数
は，分母を払えば xy=a と同じである．この形で書かれることもある，そのとき，平行移動や漸近線の公式は次の通り．

---

　xy=a のグラフを x 軸の正の向きに p， y 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は (x−p)(y−q)=a 　また，(x−p)(y−q)=a の漸近線の方程式は x=p , y=q

例
2xy−4x+3y−2=0 は
　(2x+3)(y−2)+6−2=0 と変形すると
　(2x+3)(y−2)=−4
　すなわち，(x+)(y−2)=−−2 となるから
xy=−2 のグラフを
　x 軸の正の向きに −， y 軸の正の向きに 2 だけ平行移動グラフで，
　漸近線の方程式は x=− , y=2 となる．

\( \displaystyle y=\frac{2}{x-3}+ 4 \)のグラフは，\( \displaystyle y=\frac{2}{x} \)のグラフをｘ方向に3，ｙ方向に4だけ平行移動したものなので， x=3 と y=4 が漸近線になり，グラフは右上と左下にできます． \( \displaystyle y=\frac{-2}{x+3}- 4 \)のグラフは，\( \displaystyle y=\frac{-2}{x} \)のグラフをｘ方向に−3，ｙ方向に−4だけ平行移動したものなので， x=−3 と y=−4 が漸近線になり，グラフは右下と左上にできます． \( \displaystyle y=\frac{-2}{x-3}- 4 \)のグラフは，\( \displaystyle y=\frac{-2}{x} \)のグラフをｘ方向に3，ｙ方向に−4だけ平行移動したものなので， x=3 と y=−4 が漸近線になり，グラフは右下と左上にできます．

とてもわかりやすく素晴らしい学習サイト、ありがとうございます。いつも活用しております。誤字だと思われる点のご報告です。 漸近線の方程式（3）の以下の部分 “例えば，y=q が漸近線であるとき，x のどのような値に対しても y=q となるることはない．” 【なるる】とありますが、【なる】かと思われますが、いかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

分数関数の問題４は絶対値があって、どう場合分けしたらhelp通りのグラフになるか分かりません。宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題4の(2)は場合分けした答案がついているので，(1)の話として答えます．
のグラフはそこに書いてあるグラフになるので，そのうちの負の部分の符号を変えるということです．（実際には，のとき負になるから符号が変わります．）
※ｘの値に応じて（木を見て）場合分けしようと考えているのは理解できますが，（森）を一目見れば直ちに分かります．

(x-5)/(x-2)=3x+k というkが定数の式があり、この式の実数解の個数を求めるにはどうすればよいでしょうか？ 分数関数と3x+kが一点で交わるようにするkを求める方法がわからず、解けません。 よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．x−5=(x−2)(3x+k), (x≠2)として２次方程式の判別式で判断するとよいでしょう．
3x2+(k−7)x+(5−2k)=0
D=(k−7)2−12(5−2k)
=……
=(k+11)(k−1)
ア） k<−11, k>1 → ... イ）k=−11, 1 → ...　ウ）−11<k<1 → ...
※x=2となることはない