立体の体積

≪立体の体積(円柱，角柱，円錐，角錐の体積)≫
［解説］

○【角柱，円柱の体積】
■　底面積が $S$ ，高さが $h$ の円柱や角柱(三角柱，四角柱，五角柱，･･)の体積 $V$ は， $V=Sh$
(底面積×高さ) で表わされます。

■　特に円柱では，底面の半径をｒとすると $S=\pi r^2$ だから

$V=\pi r^2h$ になります。

※　 $\pi$ は円周率。正確な値は $\pi$ という記号で表わし，近似値に直すときは， $\pi=3.14159\cdots$ のうち必要な桁数までを使います．

　なお，［重要］小学校の算数や中学高校の理科実験では近似値が好まれますが，中学高校の数学では，特に断り書きがなければ厳密な値で解答します．
　中高の数学の答案で，例えば解答が $2\pi\hspace{2}(cm^3)$ となるときに，近似値で $6.28\hspace{3}(cm^3)$ と答えても正解にはなりません．同様に，中学３年生で習う三平方の定理のあたりで，１辺の長さが1の正方形の対角線の長さは， $\sqrt{2}$ と書かなければなりません． $1.41$ ではダメです．

■問題■…（半角数字で答えてください）

底面積はS=3×4=12(cm²)，高さはh=5(cm)だから，体積はV=Sh=12×5=60(cm³)

底面積はS=π×3²=9π(cm²)，高さはh=8(cm)だから，体積はV=Sh=72π(cm³)

○【角錐，円錐の体積】
■　底面積が $S$ ，高さが $h$ の円錐や角錐(三角錐，四角錐，五角錐，･･)の体積は， $V=\frac{1}{3}Sh$
(底面積×高さ÷３) で表わされます。

■　特に円錐では，底面の半径をｒとすると $S=\pi r^2$ だから $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ になります。

なぜ，÷３になるのか？
⇒高校数学の積分を使えば証明できるが，小中学校でもこの公式は登場するので，結果を先取りして「柱の体積÷３」と覚えてしまう方が早い．

底面積はS=3×4=12(cm²)，高さはh=5(cm)だから，体積はV=Sh÷3=60÷3=20(cm³)

底面積はS=π×3²=9π(cm²)，高さはh=8(cm)だから，体積はV=Sh÷3=72π÷3=24π(cm³)

外側の体積160π(cm³)から空洞になっている内側の体積40π(cm³)を引くとV=120π(cm³)

大きな円錐の体積は
π×6²×10÷3=120π(cm³)
上端の円錐の底面の半径(xとおく)は，比例（相似）の関係を使って求めることができる．縦：横x
5:x=10:6 → x=3(cm)
大きな円錐の体積から上端の円錐の体積
π×3²×5÷3=15π(cm³)
を引くとV=105π(cm³)

円柱の体積π×3²×4=36π(cm³)からくぼみになっている円錐の体積π×3²×4÷3=12π(cm³)を引くとV=24π(cm³)

　円錐台の体積を求めて，次にこれから中空の円柱の体積を引くとよい．
　まず，比例（相似）の関係から
AB:BC=AD:DE → 3:4=6:DE → DE=8
　次に，円錐台の体積:π×6cm²×8÷3=96π(cm³)から上端の円錐の体積π×3cm²×4÷3=12π(cm³)を引いて84π(cm³)
　中空の円柱の体積：π×3²×4=36π(cm³)
　したがって，84π−36π=48π(cm³)

円錐の体積と表面積（高校入試問題）

【問題1】…（円錐の体積）

　右の図のように，底面の半径が5cmで，高さが6cmの円すいがあります。この円すいの体積は何cm³ですか。ただし，円周率は $\pi$ とします。

（広島県2018年）

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【公式】
底面の半径が $r$ で高さが $h$ の円すいの体積は
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

$V=\frac{1}{3}\pi\times 5^2\times 6=50\pi$ (cm³)…（答）

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【問題2】…（円錐の展開図）

　右の図のように，底面の半径が3cm，高さが4cm，母線の長さが5cmの円すい錐がある。
　次の(1)，(2)に答えなさい。
(1)　この円錐の体積を求めなさい。ただし，円周率は $\pi$ とする。
(2)　この円錐の展開図を作図したとき，側面のおうぎ形の形として最も近いものを，次のア～エの中から１つ選び，その記号をかきなさい。

（和歌山県2018年）

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(1)

【公式】
底面の半径が $r$ で高さが $h$ の円すいの体積は
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

$V=\frac{1}{3}\pi\times 3^2\times 4=12\pi$ (cm³)…（答）
(2)
側面のおうぎ形の「弧の長さ」と底面の円の「円周の長さ」が一致する．
おうぎ形の中心角を $\theta$ とすると
$2\pi\times 5\times\frac{\theta}{360}=2\pi\times 3$
$\theta=216$ (°)
180°よりも大きい（凹図形になる）→ア…（答）

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【問題3】…（体積比）

　右の図の２つの円すいA，Bは相似で，その相似比は2:3です。円すいAの体積が40cm³のとき，円すいBの体積を求めなさい。

（滋賀県2017年）

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ほとんどの受験生は，小学校の段階で次の公式を覚えていて，そのまま使うと思われる．

【公式】
相似比がm:nの２つの図形について
面積比は相似比の2乗比になる→m²:n²
体積比は相似比の3乗比になる→m³:n³

40:V_B=2³:3³=8:27
8V_B=40×27=1080
V_B=135(cm³)…（答）

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【問題4】…（回転体の体積）

** 中3の三平方の定理を習ってから **

　右の図の△ABCを，辺ACを軸として1回転してできる立体の体積を求めなさい。
　ただし，円周率は $\pi$ を用いることとする。

（千葉県2015年）

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できる立体は円すいで，その底面の半径は4cmである．
円すいの高さは，三平方の定理を使って求める． $BC^2+ AC^2=AB^2$
$4^2+ AC^2=5^2$
$AC^2=25-16=9$
$AC=3\hspace{5}(\gt 0)$
円すいの体積は
$V=\frac{1}{3}\pi\times 4^2\times 3=16\pi$ (cm³)…（答）

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【問題5】…（回転体の体積）

** 三平方の定理を使わずに解ける **

　右の図の台形ABCDを，辺ADを軸として1回転してできる立体の体積を求めなさい。（円周率は $\pi$ を用いなさい。）

（岐阜県2015年）

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右図のように，上下２つの立体に分けると，円錐と円柱になるから，それぞれ体積を求める公式が使える．
上の円錐の体積は
$V_1=\frac{1}{3}\pi\times 3^2\times 3=9\pi$
下の円柱の体積は
$V_2=\pi\times 3^2\times 3=27\pi$
したがって
$V_1+ V_2=36\pi$ (cm³)…（答）

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【問題6】…（回転体の体積）

　右の図のように，半径3cm，中心角90°のおうぎ形 $\rm{OAB}$ がある。このとき $\overset{\frown}{\rm{AB}}$ と弦 $\rm{AB}$ で囲まれた部分を直線 $\rm{OA}$ を軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。

（福井県2015年）

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上半球の体積から円錐の体積を引くとよい．
上半球の体積は
$V_1=\frac{4}{3}\pi\times 3^3\div 2=18\pi$ (cm³)
円錐の体積は
$V_2=\frac{1}{3}\pi\times 3^2\times 3=9\pi$ (cm³)
したがって
$V_1-V_2=9\pi$ (cm³)…（答）

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【問題7】…（球と円錐の体積）

　右の図のような半径9cmの半球があります。この半球と等しい体積の円すい錐について考えます。円錐の底面の半径が9cmであるとき，円錐の高さは何cmか求めなさい。

（滋賀県2015年）

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半球の体積は
$\frac{4}{3}\pi\times 9^3\div 2$ (cm³)
円錐の高さをｈとすると体積は
$\frac{1}{3}\pi\times 9^2\times h$ (cm³)
これらが等しいから
$\frac{4}{3}\pi\times 9^3\div 2=\frac{1}{3}\pi\times 9^2\times h$
$h=18$ (cm)…（答）

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【問題8】…（円錐の体積と表面積）

** 中3の三平方の定理を習ってから **

　右の図１のように，底面の半径が1cm，母線の長さが3cmの円すいがある。
　このとき，次の問いに答えなさい。
　ただし，円周率は $\pi$ とする。
(1)　この円すいの体積を求めなさい。
(2)　この円すいの表面積を求めなさい。

（富山県2016年）

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(1)　円すいの高さ $h$ は三平方の定理を使って求められる．
$1^2+ h^2=3^2$
$h^2=8$
$h=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
円すいの体積は
$V=\frac{1}{3}\pi\times 1^2\times 2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$ (cm³)
(2)　側面積を求めるためには，展開図のおうぎ形の中心角 $\theta$ が必要になる．
底面の円周の長さは
$2\pi$ (cm)
側面のおうぎ形の弧の長さは
$2\pi\times 3\times\frac{\theta}{360}$ (cm)
これらが等しいから
$2\pi\times 3\times\frac{\theta}{360}=2\pi$
$\theta=120$ (°)
底面積+側面積は
$\pi+ \pi\times 3^2\times\frac{120}{360}=4\pi$ (cm²)…（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[立体の体積について／17.3.29］

五角錐が、互角推に…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あ～間違いです．おもしろ漢字変換のネタにされそうなミスでした．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[立体の体積について／17.3.28］

ちょっとむずかしかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[立体の体積について／17.3.20］

分かりやすいまとめでした❗
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[立体の体積について／17.3.7］

6年生の宿題が分からなくて困っていました。そんな時にこのようなわかりやすいホームページがあったのでよかったです。とても感謝しています。本当にありがとう…。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．