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== 接弦定理 ==

《用語の解説》
図1
「接線と弦が作る角」
下の図1のように,円の弦ABが接線ATと接点Aで交わっているとき,BATのことを接線と弦が作る角といいます.

「角の内部にある孤」
図1において,孤AB(赤で示した円周の一部分)を接線と弦が作る角の内部にある孤といいます.
図2

図2のBATのように,接線ATと弦ABが作る角の大きい方(90以上の方)を考えるとき,接線と弦が作る角の内部にある孤は,赤で示した孤ABになります.


《接弦定理》
円の接線とその接点を通る弦の作る角は,その角の内部にある孤に対する円周角に等しい.
例1
 上の図1において,BAT=BCAが成り立ちます.
例2
 上の図2において,BAT=BCAが成り立ちます.
《問題》

 次の空欄に入る適当な語句を選んで,「接弦定理」の証明を完成させなさい.
(証明)
 円の接線と弦の作る角が(1)直角(90),(2)鋭角(90より小さい),(3)鈍角(90より大きい)の3つの場合に分けて示すこととします.
(1)BAT=90のとき

(漢字2文字を入れなさい↓)

弦ABはになるので,
(数字を入れなさい↓)
 BCA=
ゆえに.BAT=BCAが成り立ちます.

(2)BAT<90のとき
(BATとBCAを直接比べるのはむずかしいので,BCAに等しい他の角で比較しました.)
 下図のようにAを通る直径をAC’とすると,
(漢字3文字を入れなさい↓)
BCAとBC’Aは,いずれも(BAT内部の)孤ABに対する だから等しい.
BCA=BC’A・・・ア
(以下の空欄に数字を入れなさい↓)
 また,AC’は直径だからABC’=となり,
BC’A+BAC’=
 一方,
BAT+BAC’=
 だから
 BC’A=BAT・・・イ
 ア,イより,BAT=BCAが成り立ちます.
(3)BAT>90のとき
(BATとBCAを直接比べるのはむずかしいので,(2)の結果を利用して.90よりも小さな角で等しいものを探し,下図のようにC”とT’をとります.)
BAT>90のとき,
BAT+BAT’=・・・ア
だから,BAT’<
(2)の結果から,
BAT’=BC”A・・・イ
ア,イより,
BAT+BC”A=・・・ウ
四角形AC”BCは円に内接するから
BCA+BC”A=・・・エ
ウ,エより,BAT=BCAが成り立ちます.(証明終り)


≪見た目で覚えたい場合1≫
1.
△ABCの内角の和は180°だから右図においてx+y+z=180°
また,直線T'AT=180°

角は3種類ある.ピンクで示した2つのxが等しいこと,水色で示した2つのzが等しいことを示せばよい.

2.
円の中心を通る直径ADを引くと,上2つのピンクのxは弦CAの円周角だから等しい.
直角三角形△DCAにおいてx+y1=90°
接線と弦CAがなす角xx+y1=90°を満たす.
だから,ピンクで示した3つの角xは等しい.
同様にして,図の水色で示した3つの角zも等しいことが示される.

≪見た目で覚えたい場合2≫

ヒラメさんが目玉を寄せて遊んでいたとする.
(右図のが目玉)
(1) 円に内接する四角形では,「1つの内角向かい合う角の外角に等しい」からピンク色の角は等しい.
(2) 2つの目がだんだん寄って来たとき,右図の青と緑で示した角は,
だんだん「ちびってきて」
限りなく「0に近付いていく」.
(3) 2つの目が完全に重なって1つの目になったとき,「接弦定理」を表す図ができる.
・1つの目を接点とする円の接線が描かれている.
・青と緑の角は完全に消える.
右図でピンク色の角は等しい.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][接弦定理 について/17.3.29]
ダッシュが小さくて見辛かったです
=>[作者]:連絡ありがとう.Androidなら拡大したら済むことでは?