接弦定理
《用語の解説》
接線と弦が作る角
右の図１のように，円の弦ＡＢが接線ＡＴと接点Ａで交わっているとき，ＢＡＴのことを接線と弦が作る角といいます．



角の内部にある弧
図1において，弧ＡＢ（赤で示した円周の一部分）を接線と弦が作る角の内部にある弧といいます．

図２のＢＡＴのように，接線ＡＴと弦ＡＢが作る角の大きい方(９０以上の方)を考えるとき，接線と弦が作る角の内部にある弧は，赤で示した弧ＡＢになります．

 図１
　
図２
《接弦定理》
円の接線とその接点を通る弦の作る角は，その角の内部にある弧に対する円周角に等しい．
例１
　上の図１において，ＢＡＴ＝ＢＣＡが成り立ちます．
例２
　上の図２において，ＢＡＴ＝ＢＣＡが成り立ちます．
《問題》

　次の空欄に入る適当な語句を選んで，「接弦定理」の証明を完成させなさい．
(証明)
　円の接線と弦の作る角が(1)直角(90)，(2)鋭角(90より小さい)，(3)鈍角(90より大きい)の３つの場合に分けて示すこととします．
(1)ＢＡＴ＝90のとき

(漢字２文字を入れなさい↓)

弦ＡＢはになるので，
(数字を入れなさい↓)
　ＢＣＡ＝
ゆえに．ＢＡＴ＝ＢＣＡが成り立ちます．

(2)ＢＡＴ＜90のとき
(ＢＡＴとＢＣＡを直接比べるのはむずかしいので，ＢＣＡに等しい他の角で比較しました．)
　右図のようにＡを通る直径をＡＣ’とすると，
(漢字３文字を入れなさい↓)
ＢＣＡとＢＣ’Ａは，いずれも(ＢＡＴ内部の)弧ＡＢに対する だから等しい．
ＢＣＡ＝ＢＣ’Ａ・・・ア
(以下の空欄に数字を入れなさい↓)
　また，ＡＣ’は直径だからＡＢＣ’＝となり，
ＢＣ’Ａ＋ＢＡＣ’＝
　一方，
ＢＡＴ＋ＢＡＣ’＝
　だから
　ＢＣ’Ａ＝ＢＡＴ・・・イ
　ア，イより，ＢＡＴ＝ＢＣＡが成り立ちます．
(3)ＢＡＴ＞90のとき
(ＢＡＴとＢＣＡを直接比べるのはむずかしいので，(2)の結果を利用して．90よりも小さな角で等しいものを探し，右図のようにＣ”とＴ’をとります．)
ＢＡＴ＞90のとき，
ＢＡＴ＋ＢＡＴ’＝・・・ア
だから，ＢＡＴ’＜
(2)の結果から，
ＢＡＴ’＝ＢＣ”Ａ・・・イ
ア，イより，
ＢＡＴ＋ＢＣ”Ａ＝・・・ウ
四角形ＡＣ”ＢＣは円に内接するから
ＢＣＡ＋ＢＣ”Ａ＝・・・エ
ウ，エより，ＢＡＴ＝ＢＣＡが成り立ちます．(証明終り)

≪見た目で覚えたい場合1≫
1.
△ABCの内角の和は180°だから右図においてx+y+z=180°
また，直線T'AT=180°

※角は３種類ある．
ピンクで示した２つのxが等しいこと，水色で示した２つのzが等しいことを示せばよい．
2.
円の中心●を通る直径ADを引くと，上２つのピンクのxは弦CAの円周角だから等しい．
直角三角形△DCAにおいてx+y1=90°
接線と弦CAがなす角xもx+y1=90°を満たす．
だから，ピンクで示した３つの角xは等しい．
同様にして，図の水色で示した3つの角zも等しいことが示される． 		≪見た目で覚えたい場合2≫

ヒラメさんが目玉を寄せて遊んでいたとする．
（右図の●が目玉）
(1)　円に内接する四角形では，「１つの内角は向かい合う角の外角に等しい」からピンク色の角は等しい．
(2)　２つの目がだんだん寄って来たとき，右図の青と緑で示した角は，
だんだん「ちびってきて」
限りなく「０に近付いていく」.
(3)　２つの目が完全に重なって１つの目になったとき，「接弦定理」を表す図ができる．
・１つの目を接点とする円の接線が描かれている．
・青と緑の角は完全に消える．
右図でピンク色の角は等しい．
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[接弦定理 について／17.3.29］
ダッシュが小さくて見辛かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Androidなら拡大したら済むことでは？

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