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== rの極限 No.2 ==
《解説》
■ rnの極限: の値
(要点)
(1)−1<r<1 のとき,
n → ∞のときrn0)とも書く
(2)r=1 のとき,
n → ∞のときrn1)とも書く
(3)r>1 のとき,
n → ∞のときrn)とも書く
(4)r−1 のとき,は振動する
n → ∞のときrn は振動 )とも書く
(証明)・・・分かりやすい順に解説
(3)←
 r>1のとき,r=1+h (h>0)とおくと
 r=(1+h)=1+nh+(正の数)>1+nh→∞
(2)←
 r=1のとき,明らか.
(1)←
−1<r<1のとき,
  •  0<r<1のとき,
  •  r=1÷Rとおくと,R>1だから(3)よりR→∞
     したがって,r→0
  •  r=0のときr→0は明らか
  • −1<r<0のとき
  • |r|→0だからr→0
(4)←
  • r=−1のとき,rはnが偶数であるか,奇数であるかによって1,−1 を振動するから,rは振動
  • r<−1のとき,|r|→∞で符号はnの偶数,奇数によって正負の値をとるから,振動
≪∞+∞,∞−∞,∞×∞,∞÷∞の形になるもの≫

○1 見かけ上「∞+∞」の形になるもの ⇒ 直ちに「∞」と答えられる
○2 見かけ上「∞×∞」の形になるもの ⇒ 直ちに「∞」と答えられる
○3 見かけ上「∞−∞」の形になるもの ⇒ どちらの∞が強いかの決着をつけるために「最大項でくくる」
○4 見かけ上「∞÷∞」の形になるもの ⇒ どちらの∞が強いかの決着をつけるために「それぞれを最大項でくくる」

※○3、○4の形の極限は(実際には不定になるとは限らないが、見かけの形から)不定形の極限と呼ばれる。


《問題》 次の極限を求めなさい.
それぞれの場合分けに応じて,正しいものを下の選択肢から選びなさい.
≪1≫
(1) |r|<1のとき


(2) r=1のとき


(3) r=−1のとき


(4) |r|>1のとき



≪2≫
(1) |r|<1のとき


(2) r=1のとき


(3) r=−1のとき


(4) |r|>1のとき



≪3≫
(1) |r|<1のとき


(2) r=1のとき
(3) r=−1のとき
(4) |r|>1のとき


≪4≫
(1) |r|<1のとき
(2) r=1のとき
(3) r=−1のとき
(4) |r|>1のとき

≪5≫
(1) |r|<1のとき
(2) r=1のとき
(3) r=−1のとき
(4) |r|>1のとき

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