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| ｒｎの極限 No.2 |
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■ rnの極限：rnの値
(1)−1<r<1 のとき，rn=0
（n → ∞のときrn → 0）とも書く (2)r=1 のとき，rn=1 （n → ∞のときrn → 1）とも書く (3)r>1 のとき，rn=∞ （n → ∞のときrn → ∞）とも書く (4)r≦−1 のとき，rnは振動する （n → ∞のときrn は振動 ）とも書く |
証明
(3) ｒ＞１のとき，ｒ＝１＋ｈ （ｈ＞０）とおくと ｒｎ＝(１＋ｈ)ｎ＝１＋ｎｈ＋(正の数)＞１＋ｎｈ→∞ (2) ｒ＝１のとき，明らか． (1) −１＜ｒ＜１のとき，
ｒ＝１÷Ｒとおくと，Ｒ＞１だから(3)よりＲｎ→∞ したがって，ｒｎ→０ ｜ｒ｜ｎ→０だからｒｎ→０
を振動するから，ｒｎは振動 |
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■解法の要点■
○1 見かけ上「∞＋∞」の形になるもの ⇒ 直ちに「∞」と答えられる ○2 見かけ上「∞×∞」の形になるもの ⇒ 直ちに「∞」と答えられる ○3 見かけ上「∞−∞」の形になるもの ⇒ どちらの∞が強いかの決着をつけるために「最大項でくくる」 ○4 見かけ上「∞÷∞」の形になるもの ⇒ どちらの∞が強いかの決着をつけるために「最大項で割る」 ※○3、○4の形の極限は（実際には不定になるとは限らないが、見かけの形から）不定形の極限と呼ばれる。ここでは不定形の極限のうちで「最大項で割る」ものなどを練習する。 |
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