整式の割り算(文字係数),商と余りの関係
 a,b,c,dを定数とする.xについての二つの整式A=x+x−1,B=x+ax+bx+x+2に対して,BをAで割ったとき,商がA+cで,余りがdとなるとする.このとき,a=[ ア ],b=[ イ ],c=[ ウ ],d=[ エ ]である.
 また,のとき,A=[ オ ],B=[ カキ ]である.
(1999年度センター試験の引用)
《ノーヒントで解答を試みる》
ア=,イ=,ウ=,エ=
オ=,カ=,キ=



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<ヒント>
(考え方1):素朴に割り算を行う
(x+ax+bx+x+2)÷(x+x−1)=x+(a−1)x+(b−a+2)・・・(2a−b−2)x+(b−a+4)
ここで,商がA+cだから,x+(a−1)x+(b−a+2)=x+x−1+c・・・(1)
また,余りがdだから,(2a−b−2)x+(b−a+4)=d・・・(2)

(1)(2)において両辺の係数を比較すると,
a−1=1・・・(3)
b−a+2=−1+c・・・(4)
2a−b−2=0・・・(5)
b−a+4=d・・・(6)

(3)よりa=2,これを(5)に代入するとb=2
これらを(4)(6)に代入すると,c=3,d=4

次に,のとき,2x+1=√17 だから,両辺を2乗すると,4x+4x+1=17→4x+4x-16=0→x+x-4=0
このとき,x+x=4だから,x+x−1=3・・・・・・・(この変形についての解説→)
B=A(A+c)+d=3(3+3)+4=22

(考え方2):割り算の原理(商と余りの関係)で表わす
B=A(A+c)+d=A+Ac+d
+ax+bx+x+2=(x+x−1)+(x+x−1)c+d
=x+x+1+2x−2x−2x+cx+cx−c+d
=x+2x+(c−1)x+(c−2)+(1−c+d)の両辺の係数を比較すると,
a=2,b=c−1,1=c−2,2=1−c+d

これより,a=2,c=3,b=2,d=4
次に,のときのA,Bの値は,(考え方1)と同じ.



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