■センター試験問題 三角比→ 携帯版は別頁
【センター試験 2006年度:数学I・A(本試験) 第3問】
 下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて,
AE=, AF=8, AH=10
とする.
 このとき,FH=アイであり,cos∠FAH=である.
また,三角形AFHの面積はオカである.


 次に,∠AFHの二等分線と辺AHの交点をP∠FAHの二等分線と辺FHの交点をQ,線分FPと線分AQの交点をRとする.このとき,Rは三角形AFHである.次の02のうちからに当てはまるものを一つ選べ.

0重心 1外心 2内心

 また,AP=であり,したがって,
PF:PR=:1
となる.さらに,四面体EAPRの体積はである.


[補足説明]
 三角形において,
その外接円の中心を外心,
その内接円の中心を内心という.
≪次の解答欄から各々選んでください.≫



± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2007年度:数学I・A(本試験) 第3問】
 △ABCにおいて,AB=2, BC=+1, CA=2とする.また△ABCの外接円の中心をOとする.

(1) このとき,∠ABC=アイ°であり,外接円Oの半径は

である.

(2) 円Oの円周上に点Dを,直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる.
 △ABDの面積をS1△BCDの面積をS2とするとき
=−1 ……@
であるとする.∠BAD+∠BCD=カキク°であるから
CD=AD
となる.このとき
CD=
である.

 さらに,2辺AD, BCの延長の交点をEとし,△ABEの面積をS3△CDEの面積をS4とする.このとき
= ……A
である.@とAより
= ……A
となる.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2008年度:数学I・A(本試験) 第3問】
 △ABCにおいて,AB=7, BC=4, ∠ABC=45°とする.
また,△ABCの外接円の中心をOとする.

 このとき,CA=であり,外接円Oの半径は
である.
 外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点DCD=であるようにとる.∠ADC=オカ°であるから,AD=xとするとxは2次方程式
x2x−ケコ=0
を満たす.x>0であるから,AD=となる.

 下のには,次の05のうちから当てはまるものを一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

0AC 1AD 2AE 3BA 4CD 5ED

 点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとする.このとき,∠CAE=∠Eであるから,△ACE△Dは相似である.
これより,
 EA=EC
である.また,EA2= · ECである.したがって
 EA=
であり,△ACEの面積はである.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2009年度:数学I・A(本試験) 第3問】
 △ABCにおいて,AB=1, BC=, AC=2とし,∠CABの二等分線と辺BCとの交点をDとする.

 このとき,∠CAB=アイウ°であり
BD= , CD=
である.

 ADの延長と△ABCの外接円Oとの交点のうちAと異なる方をEとする.このとき,∠DABと等しい角は,次の04のうちである.ただし,の解答の順序は問わない.

0∠DBE 1∠ABD 2∠DEC 3∠CDE 4∠BEC

これより,BE=である.また,DE=である.
 次に,△BEDの外接円の中心をO’とすると,
O’B=
であり
tan∠EBO’=
である.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

※元の問題では[ケ]と[コ]の解答の順序は問わないことになっていますが,ここではコンピュータで採点する都合上,[ケ]<[コ]となるように答えてください.

± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2010年度:数学I・A(本試験) 第3問】
 △ABCAB=3, BC=4, CA=5である直角三角形とする.

(1) △ABCの内接円の中心をOとし,円Oが3辺BC, CA, ABと接する点をそれぞれP, Q, Rとする.このとき,OP=OR=である.また,
QR=であり,sin∠QPR=である.

(2) 円Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする.このとき
AP=であり,SP=である.
また,点Sから辺BCへ垂線を下ろし,垂線とBCとの交点をHとする.このとき
HP= , SH=
である.したがって,tan∠BCS=である.
(3) 円O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる.
このとき,tan∠BCT=である.よって,∠RSC=ニヌ°
であり,∠PSC=ネノ°である.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2011年度:数学I・A(本試験) 第3問】
 点Oを中心とする円Oの円周上に4点A, B, C, Dがこの順にある.四角形ABCDの辺の長さは,それぞれ
AB=, BC=2, CD=, DA=2
であるとする.

(1) ∠ABC=θ, AC=xとおくと,△ABCに着目して
x2=アイ−28cosθ
となる.また,△ACDに着目して
x2=15+ウエcosθ
となる.よって,cosθ=, x=であり,円Oの半径は
である.

 また,四角形ABCDの面積はである.

(2) 点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると,∠OAE=シス°である.また,線分OEと辺ADの交点をFとすると,∠AFE=セソ°であり,
OF · OE=
である.
 さらに,辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする.点Eから直線OGに垂線を下ろし,直線OGとの交点をHとする.
 4点E, G, は同一円周上にある.に当てはまるものを次の04から一つ選べ.

0C , F 1H , D 2H , F 3H , A 4O , A

したがって,
OH · OG=
である.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2012年度:数学I・A(本試験) 第3問】
 △ABCにおいて,AB=AC=3, BC=2であるとき
cos∠ABC= , sin∠ABC=
であり,△ABCの面積は△ABCの内接円Iの半径は

である.
 また,円Iの中心から点Bまでの距離はである.

(1) 辺AB上の点Pと辺BC上の点Qを,BP=BQ
かつPQ=となるようにとる.このとき,△PBQの外接
Oの直径はであり,円Iと円O.ただし,
には次の04から当てはまるものを一つ選べ.

0重なる(一致する) 1内接する 2外接する
3異なる2点で交わる 4共有点をもたない

(2) 円I上に点Eと点Fを,3点C, E, Fが一直線上にこの順に並び,かつ,CF=となるようにとる.このとき
CE= , =
である.
 さらに,円Iと辺BCとの接点をD,線分BEと線分DFとの交点をG,線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする.
このとき,=である.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


■[個別の頁からの質問に対する回答][センター試験問題 三角比2012について/16.12.18]
最後の問題の解説、点Gは△ABCではなく△FBCの重心ではないでしょうか
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.また,(1)以下の文章で根号の表示がずれていましたので直しました.

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