※直線の方程式は,「方向ベクトル」で表す方法と,「法線ベクトル」で表す方法があります。この頁では「法線ベクトル」で表す方法を取り扱っています.
[要点]
○平面上において点Aを通り法線ベクトルに垂直な直線の方程式は,
…(1)
※ 「法」という言葉は,縦の関係に使われます。
「法面工事中」「法令」などの法は縦の関係です。 ※ 数学では,接線と法線が分かればOKです。 (1)←
ならばPはAを通りに垂直な直線上にあります。
(ここで,はです.直線の中に埋まっているのことではないので注意しましょう。)また,Aを通りに垂直な直線上にあれば, が成り立ちます。 2つのベクトルが垂直(直角)となる条件は(内積)=0の関係で表せるので,以上の関係は すなわち …(1) で表せます. |
【例1】
となればよいから点を通り,ベクトルに垂直な直線のベクトル方程式を求めてください. …(答) 展開して次の形で答えてもよい …(答)
【例2】
2点,を結ぶ線分ABの垂直二等分線のベクトル方程式を求めてください. ABの中点を通り,ベクトルに垂直な直線になるから, …(答)
○平面上において点Cを中心とする半径rの円の方程式は,
(2)←…(2) 又は …(2') 定点C,定数rに対して,CP=r を満たす点はCからの距離がrですから,半径rの円周上にあります。Cを中心とする半径rの円周上にあれば,CP=rです。 これをベクトルの大きさ| |で表すと, …(2) 2乗すれば,同じものの内積になりますので(2’)と書くこともできます。 |
【例3】
点を中心とする半径3の円のベクトル方程式を求めてください. …(答)
【例4】
2点,を直径の両端とする円のベクトル方程式を求めてください. ABの中点を中心とする半径の円だから, …(答4.1) ※この問題には,次のような別解があります. 右図のように,∠APB=90°となれば点Pはその円周上にあるから を式で表せばよい. …(答4.2) (点PがAやBに一致するときもこれで成り立つ.) これら2つの式が同じものであることは,次のように示すことができます.
(4.1)→
→(4.2) 逆の変形もできます. |
【問題】(ややむずかしい) 平面上に原点と異なる2点M,Nがあるとき,次の方程式で表される点Pが表す図形を答なさい。 ○初めに問題を選び,続いて選択肢の図形[赤で示した部分]を選びなさい。 ○問題を選択して反転している間に「ヒント」ボタンを押すと下にヒントが出ます。 |
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