対数方程式解説携帯版
 
○変形の基本
 
が同じ値のとき

 

○対数をはずせる理由
a>1のとき,y=logax のグラフは右図のように増加関数となり,
p≠q → logap≠logaq
対偶により
logap=logaq → p=q 
といえるからです。

0<a<1のときは、減少関数ですが,結果は同じです。

○底が同じ値でないとき
[底の変換公式]でそろえます。
 

 .
○変形の仕方
 

の公式を繰り返し用いて、左辺・右辺を1つのlogにする。=分けるのでなく組み立てる。
 
○例
 log6(x-2) + log6(x-3) = log62
→log6(x-2)(x-3) = log62
→(x-2)(x-3) = 2
引き算のまま変形すると分数方程式になります。これを避けるには、移行して足し算にします。

○例:移行すれば
 log6(x-2) - log6(x-3) = log62
→log6(x-2) = log62 + log6(x-3)
→log6(x-2) = log62(x-3)
→(x-2) = 2(x-3)

.
○真数条件と底の条件
 
真数条件は変形する前に調べる。
→各々の log について 真数>0の連立方程式を作る。
 
※解を求めてから、十分条件を満たしているかどうか調べることもできますが、解が求まるとうれしくなって警戒心が薄れることが多いので、「初めに検討する」と決めておく方が安全です。
底にも未知数があるとき、底の条件は真数条件よりも厳しいので注意
→ 底>0かつ底≠1

log2x+logx2=2
→真数条件から x>0
底の条件から x>0かつx≠1
以上より x>0かつx≠1
このときlog2x=XとおくとX+1/X=2を解く。
 対数関数は,真数が正の数のときだけ定義されます。この真数>0 という条件(真数条件)は,元の式で検討することが重要です。変形してから真数条件を検討しても,ダメです。
例 
log6(x-2) + log6(x-3) = log62 ・・(1)は
log6(x-2)(x-3) = log62  ・・(2)
と同じではありません。

(2)はx=1でも4でも成り立ちますが,(1)はx=1では成り立ちません。
これは,(2)の真数 (x-2)(x-3)>0 という条件と
(1)の真数 x-2>0 かつ x-3>0 という条件は違うからです。

[重要]

logaM+logaN=logaMN
が成り立つのは
M>0かつN>0
のときに限る。
○例題
 log6(x-2) + log6(x-3) = log62 を解きなさい。

答案
 真数条件 x-2>0 かつ x-3>0より

 x>3・・(A)
このとき,log6(x-2)(x-3) = log62 より 
(x-2)(x-3) = 2
x2-5x+6=2
x2-5x+4=0
x=1,4・・・(B)
(A)(B)より
x=4・・・答
例題
例1
方程式 log2(2x-4)=log2(5-x) を解きなさい。
答案例
真数条件 ---※1
2x-4>0,5-x>0 より 2<x<5・・(1)
方程式から ---※2
2x-4 = 5-x
3x = 9
x = 3・・(2)
(1)(2)より
x=3・・答

※1
真数条件は,初めに検討する方がよいでしょう。

※2
が同じ値のとき

 

例2
方程式 log2(x-1) = 3 - log2(x+1) を解きなさい。
答案例
真数条件
x-1>0,x+1>0 より x>1・・(1)
方程式を変形して
log2(x-1)+log2(x+1) = 3 ---※1
log2(x-1)+log2(x+1)= log28 ---※2
log2(x-1)(x+1)= log28
(x-1)(x+1)= 8
x2-1=8
x2=9
x=±3・・・(2)
(1)(2)より
x=3・・答
※1
引き算は、移行して足し算にすれば、分数方程式を避けられます。

※2
数字は,対数にする

例3
方程式 2log3x=log3(x+6) を解きなさい。
答案例
真数条件
x>0,x+6>0 より x>0・・(1)
方程式を変形して log3x2=log3(x+6) --- ※1
x2 = x + 6 --- ※2
x2 - x - 6 = 0
(x-3)(x+2)=0
x= 3, -2・・・(2)
(1)(2)よりx=3・・・答

例4
方程式  を解きなさい。
答案例
真数条件
5-x>0,5x-1>0より1/5<x<5・・(1)
方程式を変形して---※1
(1)(2)より
x=2・・答

 
 
 
 
 

※1
底がそろっていないときは
[底の変換公式]でそろえます。

例5
方程式 (log2x)2-log2x2-8=0 を解きなさい。
答案例
真数条件
 x>0,x2>0よりx>0・・(1)
方程式は
 (log2x)2-2log2x-8=0 と書けるから
 log2x=Aとおくと
 A2-2A-8=0
 (A-4)(A+2)=0
 A=4,-2
 log2x=4,-2よりx=16,1/4・・(2)
(1)(2)よりx=16,1/4・・答
例6
方程式 log10x-3logx10=2 を解きなさい。
答案例
真数条件 x>0,底の条件 x>0,x≠1 よりx>0,x≠1・・(1)

底を10にそろえると方程式は
 

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