三角関数の値

== 【 $\frac{n\pi}{2}\pm\theta$ の三角関数】 ==

【例1】
$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$ の値を $\sin\theta,\hspace{3}\cos\theta,\hspace{3}\tan\theta$ の値を使って表すには

（解説）

①まず初めに，角度 $\frac{\pi}{2}-\theta$ の場所を単位円上で探します．左図の●になります．
②次に，求めるものが $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{x}{r}$ であるから，①で求めた場所について
横(符号あり)／半径を考えます．
$\overset{''}{--}/\overset{_\circ}{--}$ になります．

③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{''}{--}/\overset{_\circ}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\sin\theta$ になります．
　以上により， $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$ …（答）

【例2】
$\sin(\frac{3\pi}{2}+\theta)$ の値を $\sin\theta,\hspace{3}\cos\theta,\hspace{3}\tan\theta$ の値を使って表すには

（解説）

①まず初めに，角度 $\frac{3\pi}{2}+\theta$ の場所を単位円上で探します．左図の●になります．
②次に，求めるものが $\sin(\frac{3\pi}{2}+\theta)=\frac{y}{r}$ であるから，①で求めた場所について
縦(符号あり)／半径を考えます．
$-(\overset{\cdot\hspace{1}\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{_\circ}{--})$ になります．

③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $-(\overset{\cdot\hspace{1}\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{_\circ}{--})$ が，何に対応しているかと考えます．
$-\cos\theta$ になります．
　以上により， $\sin(\frac{3\pi}{2}+\theta)=-\cos\theta$ …（答）

【例3】
$\tan(\theta-\frac{3\pi}{2})$ の値を $\sin\theta,\hspace{3}\cos\theta,\hspace{3}\tan\theta$ の値を使って表すには

（解説）
(0)まず初めに， $\tan\theta$ は奇関数であることに注意します．すなわち， $\tan(-\theta)=-\tan\theta$ が成り立ちます．したがって， $\tan(\theta-\frac{3\pi}{2})=-\tan(\frac{3\pi}{2}-\theta)$ です．

①次に，角度 $\frac{3\pi}{2}-\theta$ の場所を単位円上で探します．左図の●になります．
②次に，求めるものが $-\tan(\frac{3\pi}{2}-\theta)=-\frac{y}{x}$ であるから，①で求めた場所について
－縦(符号あり)／横(符号あり) を考えます．
$-(\overset{\cdot\hspace{1}\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{''}{--})$ になります．

③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $-(\overset{\cdot\hspace{1}\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{''}{--})$ が，何に対応しているかと考えます．
$-\frac{1}{\tan\theta}$ になります．
　以上により， $\tan(\theta-\frac{3\pi}{2})=-\frac{1}{\tan\theta}$ …（答）
（ $-\cot\theta$ と書くこともある）

（別解）

①まず初めに，角度 $\theta-\frac{3\pi}{2}$ の場所を単位円上で探します． $\theta$ から右回りに $\frac{3\pi}{2}$ 進むと左図の●になります．
②次に，求めるものが $\tan(\theta-\frac{3\pi}{2})=\frac{y}{x}$ であるから，①で求めた場所について
縦(符号あり)／横(符号あり) を考えます．
$-(\overset{\cdot\hspace{1}\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{''}{--})$ になります．

【問題】
　次の値に等しいものを下の選択肢から選びなさい．

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正答誤答
ＯＸ

■［個別の頁からの質問に対する回答］[sin(π+θ)などについて／18.7.03］

cos(θ-3π/2)は-cos(3π/2+θ)よりsinθになると思うのですが・・
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三角関数の性質にありますように， $\cos\theta$ は偶関数，すなわち $\cos(-\theta)=\cos\theta$ が成り立ちます．（ $\sin\theta,\hspace{3}\tan\theta$ とは異なり， $-\theta$ になっても，符号は変化しません．間違いやすいものです）．
したがって， $\cos(\theta-\frac{3\pi}{2})=\cos(\frac{3\pi}{2}-\theta)$ です． $\frac{3\pi}{2}-\theta$ の図で示しています．
この場所で， $\frac{x}{r}$ だから，第1象限の図に直すと $-\sin\theta$ です．

■東京都[猫さん／17.11.07］

http://www.geisya.or.jp/ ~mwm48961/ kou3/sin004.htm のＴａｎ（θーπ）のヒントで、赤い点の位置が違うと思ったのですが、どうですか？あのヒントだと答えは－Ｔａｎになると思います。　もしヒントがあっていれば、解説をお願いします。　　また、わからないところで、sin（－θ－２π）のヒントがなぜ０にならないのですか？最後に要望で、９０－θや９０＋θの公式を具体的に、細かく解説して載せていただければ幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．赤い点の位置は確かにおかしいので訂正しました．
「sin（－θ－２π）のヒントがなぜ０にならないのですか？」は質問の意味が通じません．そのヒントでは，－θ－２πの位置が赤丸で示されているはずです．０になることはないでしょう．
「９０－θや９０＋θの公式」の公式はこのページにあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の値について／17.2.12］

sin(π+θ)など"の項で、tan(θ-π/2)の問題について、図が3π/2の外接円との交点にマークを示しているので間違いと思いますが如何でしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．sin(π+θ)の話をしておられるのか，tan(θ-π/2)の話をしておられるのか通じません．3π/2の外接円とは何のことなのか，Firefoxで表示がおかしいということでもないようで，全く話が通じません．