三角方程式

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【三角方程式とは】

$\sin A=\frac{1}{2}$ のように三角比の値が与えられたときに，この式を満たす角度 $A$ を求める問題を三角方程式という．

この他，次のようなものも三角方程式です．

$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$

角度をθで表すときは，三角方程式は次のように角度 $\theta$ を未知数とする方程式になります．

$\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

＃＃勉強不足の高校生が書いたビックリ答案から学ぼう
　勉強不足の高校生は，次のような答案を書くことがあります．
$\sin A=1$ のとき $A=\frac{1}{\sin}$
※角度を付けずに $\sin$ などと書くことはありません．

$\sin,\hspace{10}\cos,\hspace{10}\tan$ などというものはない！

※ $\sin A$ は $\sin \times A$ ではない．

三角比は， $3A,A^2,A+ A^3,\cdots$ などの今までに習った関数では表せないので特別な記号を作ったもので，
$\sin A=b$ という方程式から $A=\cdots$ に変形する簡単なルールはない．

◎ある程度の勉強をした高校生なら
$\sin A=1$ のとき $A=90^{\circ}$ と答えることができます．

これは， $\sin 90^{\circ}=1$ を覚えているからです．

$\cos A=\frac{1}{2}$ のとき $A=60^{\circ}$ と答えることができます．

これは， $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ を覚えているからです．

しかし，よく勉強した高校生でも

$\sin A=\frac{1}{3}$ のとき $A$ の値を答えることはできません．

$\sin A=\frac{1}{4},\hspace{10}\frac{1}{5},\hspace{10}0.3,\hspace{10}0.1$ など右辺が普通の分数・小数になっているときもほとんど解けません．

これ以外の角度は教科書の巻末に付いている「三角比の表」がなければ答えられません．三角比の表の一部分を見ると次のようになっています．

A	sin A	cos A	tan A
…	…	…	…
17°	0.2924	0.9563	0.3057
18°	0.3090	0.9511	0.3249
19°	0.3256	0.9455	0.3443
20°	0.3420	0.9397	0.3640
21°	0.3584	0.9336	0.3839
…	…	…	…

この表を使えば，
$\sin A=\frac{1}{3}=0.3333\cdots \rightarrow A=19.\cdots ^{\circ}$
詳しく言えば，A=19.47122063...ですが，あくまで近似値です．

【要点】
◎次の表は覚えなければならない．
◎この表にない角度は，数学Ⅰの筆算で解く問題では出ない．

$A$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$\sin A$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$

$A$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$\cos A$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$

$A$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$\tan A$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	なし	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

※sinAは同じ値が左右対称に２つずつあることに注意

例えば， $\cos A=\frac{1}{2}\rightarrow A=60^{\circ}$
$\tan A=-1\rightarrow A=135^{\circ}$
のように，cosA=..., tanA=...からは，解が１つだけ定まるのに対して
$\sin A=\frac{1}{2}\rightarrow A=30^{\circ},150^{\circ}$
のようにsinA=...からは，解が２つ定まる．（90°だけは１つ）