空間図形・展開図（高校入試問題4）

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♪♥♫♦∀高校入試の基本～標準∳♣♬∅♠

円錐の展開図

基本：★

【問題1】

　右の図１のように，底面の半径が1cm，母線の長さが3cmの円すいがある。
　このとき，次の問いに答えなさい。
　ただし，円周率はπとする。
(1)　この円すいの体積を求めなさい。

(2)　この円すいの表面積を求めなさい。
(3)　右の図２のように，底面の円周上の点Pから円すいの側面を1周して，点Pまでひもをかける。ひもの長さが最も短くなるときのひもの長さを求めなさい。

(2016年度富山県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

♪♩～最短経路（測地線とも呼ばれる）の長さは，展開図で考えるのが基本～♫♬

(1)
高さは $\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ だから，その体積は
$\pi\times 1^2\times 2\sqrt{2}\div 3=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$ (cm3)･･･（答）
(2)
側面の扇形の中心角をθ°とおくと，底面の円周の長さと側面の扇形の個の長さが一致するから
$2\pi\times 1=2\pi\times 3\times\frac{\theta}{360}$
　θ=120(°)
表面積は
$\pi\times 1^2+ \pi\times 3^2\times\frac{120}{360}=\pi+ 3\pi=4\pi$ (cm2)･･･（答）

(3)
右の展開図において，線分PP’の長さを求めるとよいから
$\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 2=3\sqrt{3}$ (cm)･･･（答）
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基本：★

【問題2】

　図１のように，底面の直径ABと母線の長さPAについてAB=PA=4cmの円錐がある。
(1)　この円錐の側面の展開図はおうぎ形になる。その展開図として正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号を書きなさい。

(2)　線分PBの中点をCとする。図２のように，この円錐の表面に，点Aから点Cまで，ひもをゆるまないようにかける。ひもの長さが最も短くなるとき，その長さを求めなさい。

(2017年度長野県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

♪♩～最短経路（測地線とも呼ばれる）の長さは，展開図で考えるのが基本～♫♬

はじめに，側面の展開図の扇形の中心角θ(°)を求める
底面の円周の長さ2π×2と側面の展開図の扇形の弧の長さが等しいから

$2\pi\times 2=2\pi\times 4\times\frac{\theta}{360}$
$\theta=180$ (°)
AP=4, PC=2, ∠APC=90°だから，直角三角形APCについて，三平方の定理を用いると
$\rm{AC^2}=4^2+ 2^2=20$
$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (cm)･･･（答）
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計算量が多い：★★★

【問題3】

　底面の半径が4cm，母線の長さが12cmの円錐があります。底面の1つの直径をABとし，円錐の頂点をOとします。また，線分OAの中点をMとします。この円錐の側面上に，右の図のように点Aから線分OBと交わり点Mまで線をひくとき，最も短くなるようにひいた線の長さを求めなさい。

(2018年度埼玉県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
はじめに，側面の展開図の扇形の中心角θ(°)を求める
底面の円周の長さ2π×4と側面の展開図の扇形の弧の長さが等しいから
$2\pi\times 4=2\pi\times 12\times\frac{\theta}{360}$
$\theta=120$ (°)

　高校では，右図AMの長さを求める公式があるが，中学では「直角三角形を組み合わせて，三平方の定理で求める」しかない．
　AO=12, OM=6, ∠MOH=60°から，OH=3, HM= $3\sqrt{3}$
　直角三角形AMHについて，三平方の定理を用いると
$\rm{AM^2}=15^2+(3\sqrt{3})^2=225+ 27=252$
$AM=\sqrt{252}=6\sqrt{7}$ (cm)･･･（答）
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基本：★★★

【問題4】

　右の図１のような，底面の半径が2cm，母線の長さが6cm，高さが $4\sqrt{2}$ cm，頂点がOの円すいがある。
　このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
　ただし，円周率はπとする。
(1)　この円すいの体積を求めなさい。
(2)　この円すいの表面積を求めなさい。

(3)　右の図２のように，この円すいにおける底面の直径の１つをABとする。点Pは線分OA上の点でOP=2cmであり，点Qは線分OB上を動く点である。点Bから点Pを通るようにして点Qまでひもをかける。ひもの長さが最短となるように点Qをとるとき，そのひもの長さを求めなさい。
　ただし，ひもの太さや伸び縮みは考えないものとする。

(2022年度茨城県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
底面積が $\pi\times 2^2$ ，高さが $4\sqrt{2}$ の円錐だから，その体積は
$\pi\times 2^2\times 4\sqrt{2}\div 3=\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$ (cm3)･･･（答）
(2)
側面の扇形の中心角をθ°とおくと，底面の円周の長さと側面の扇形の個の長さが一致するから
$2\pi\times 2=2\pi\times 6\times\frac{\theta}{360}$
　θ=120(°)
表面積は
$\pi\times 2^2+ \pi\times 6^2\times\frac{120}{360}=4\pi+ 12\pi=16\pi$ (cm2)･･･（答）

(3)
BPとPQに分けて考える
PからOBに引いた垂線の足をRとすると，
　OR=1, OP=2, RB=5, PR= $\sqrt{3}$ だから
BP= $\sqrt{3+ 25}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
PQ= $\sqrt{3}$
したがって，ひもの長さは， $2\sqrt{7}+\sqrt{3}$ (cm)･･･（答）
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角錐，角柱の展開図

基本：★

【問題5】

　右の図のように，1辺の長さが4cmの立方体ABCDEFGHがある。辺BF上に点Pをとり，辺EF, FGの中点をそれぞれQ, Rとする。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　AP+PGの長さを最も短くしたとき，AP+PGの長さを求めなさい。
(2)　3点A, Q, Rを通る平面でこの立方体を切ったとき，切り口の図形の面積を求めなさい。

(2019年度茨城県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
ABEF, BCFGの面の展開図は右のようになる．このとき，AGが直線になるときAP+PGが最短になる
$\rm{AP+ PG}=\sqrt{8^2+ 4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ (cm)･･･（答）

(2)
右図のようにAQの延長とCRの延長とが交わる点をSとすると，点A, Q, S, R, Cは，△ASC上にある．
　したがって，求める切り口は台形AQRCになる．
$\rm{AC}=4\sqrt{2}$ （上底）
$\rm{QR}=2\sqrt{2}$ （下底）
$\rm{CR}=\sqrt{4^2+ 2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(等脚)台形の高さは， $\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
面積は
$\frac{(4\sqrt{2}+ 2\sqrt{2})\times 3\sqrt{2}}{2}=18$ (cm2)･･･（答）
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気長にやるしか：★★★

【問題6】

　右の図1は，AB=3cm, BC=4cm, ∠ABC=90°の直角三角形ABCを底面とし，AD=BE=CF=2cmを高さとする三角柱である。
　このとき，次の問いに答えなさい。
(ア)(イ)　略
(ウ)　この三角柱の表面上に，図2のように点Bから辺EF，辺DFと交わるように，点Cまで線を引く。このような線のうち，長さが最も短くなるように引いた線の長さを求めなさい。

(2019年度神奈川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(ウ)
　右の展開図において，BC’の距離を求めるとよい．
　△DEFは，DE=3, EF=4, FD=5の直角三角形
　△DBJは，△DEFと合同だから，DJ=3, JB=4, BD=5
　したがって，AK=3, KC’=2
　△BKC’に対して，三平方の定理を適用すると
$\rm{BC\apos}=\sqrt{(4+ 2)^2+ 2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ (cm)･･･（答）

（別解）
△C’FIは，△FDEと相似だから
$\rm{FI}=2\times\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$
$\rm{IC\apos}=2\times\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$
　△BHC’に対して，三平方の定理を適用すると
$\rm{BC\apos}=\sqrt{(4+ \frac{6}{5})^2+ (2+\frac{8}{5})^2}=\frac{\sqrt{26^2+ 18^2}}{5}$
$=\frac{2\sqrt{13^2+ 9^2}}{5}=\frac{2\sqrt{250}}{5}=\frac{10\sqrt{10}}{5}=2\sqrt{10}$ (cm)･･･（答）
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勉強になる：★★★

【問題7】

　右の図１のような，正方形ABCDを底面とし，OA=OB =OC=ODの正四角錘OABCDがあります。頂点Oから底面の正方形ABCDに垂線をひき，底面の正方形ABCDとの交点をHとします。
　このとき，次の各問いに答えなさい。
(1)　略
(2)　底面の正方形ABCDの１辺の長さが6cm, OA=OB=OC =OD=6cmのとき，次の①，②に答えなさい。
①　線分OHの長さを求めなさい。
②　右の図２のように，正四角錘OABCDを3点O, B, Dを通る平面で切って，三角錐OBCDの辺OB上にOP=2cmとなる点P，辺OD上にOQ=4cmとなる点Qをとります。辺OC上に点Rをとり，PR+RQの長さが最も短くなるとき，三角錘OPRQの体積を途中の説明も書いて求めなさい。

(2019年度埼玉県公立高校入試問題)

解説を読む

（復習）

　右図のように三角錐OABCがあるとき，辺OA, OB, OCの辺上に点P, Q, Rをとると，三角錐OPQRと三角錐OABCの体積について
(三角錐OPQR)=(三角錐OABC)× $\frac{p}{a}\times\frac{q}{b}\times\frac{r}{c}$
が成り立つから，ORの長さを求めると，三角錐OPQRの体積が求まる．
※証明は，このぺージの問題８の後

• OP=p, OQ=q, OR=rとおくとき，右図1のように∠POR=∠ROQ=60°のとき， $r=\frac{pq}{p+ q}$
※∠POR=∠ROQのとき，いつでもこの簡単な公式が成り立つわけではなく，45°，30°のときは，もう少し複雑になる．
• ∠POR=∠ROQ=45°のとき， $r=\frac{pq}{p+ q}\sqrt{2}$
• ∠POR=∠ROQ=30°のとき， $r=\frac{pq}{p+ q}\sqrt{3}$
※この公式を，覚える必要はない．「ORを含む相似図形を作る」ことがポイント．

**以下q>pのときの図を使って説明する**

（図1の場合の証明）
右図のように，点Sをとると，△RSQ∽△ROPとなるから
$p:r=q:(q-r)$
$qr=pq-pr$
$r=\frac{pq}{p+ q}$

（図2の場合の証明）
右図のように，点Sをとると，△RSQ∽△ROPとなるから
$p:r=q:(\sqrt{2}q-r)$
$qr=\sqrt{2}pq-pr$
$r=\frac{pq}{p+ q}\times\sqrt{2}$
（図3の場合の証明）
同様にして， $p:r=q:(\sqrt{3}q-r)$ となることから証明できる

（問題の解答）
(2)①

断面図は右図のようになるから，三平方の定理を用いて，OHの長さを求めることができる
$\rm{OH}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ (cm)･･･（答）
②
上記の図1の場合において，p=2, q=4であるから
$r=\frac{2\times 4}{2+ 4}=\frac{4}{3}$
次に
　(三角錐OPQR)
　=(三角錐OABC)× $\frac{p}{a}\times\frac{q}{b}\times\frac{r}{c}$

　=(三角錐OABC)× $\frac{2}{6}\times\frac{4}{6}\times\frac{\frac{4}{3}}{6}$
　=(三角錐OABC)× $\frac{4}{81}$
また
　(三角錐OABC)= $\frac{6\times 6}{2}\times 3\sqrt{2}\div 3=18\sqrt{2}$
結局，求める体積は
$18\sqrt{2}\times\frac{4}{81}=\frac{8}{9}\sqrt{2}$ (cm3)･･･（答）
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★★★

【問題8】

　右の〔図1〕のように，三角柱ABC−DEFがあり，AB=4cm, BC=6cm, BE=5cm, ∠BAC=90°である。
　辺BE上に，線分APと線分PFの長さの和AP+PFがもっとも短くなるように点Pをとる。
　次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1)　辺ACの長さを求めなさい。
(2)　線分APの長さを求めなさい。

(3)　右の〔図2〕のように，三角錐さんかくすいADPCと三角錐ADPFについて考える。
　次の①，②の問いに答えなさい。
①　△AFPの面積を求めなさい。
②　三角錐ADPCにおいて，△AFPを底面としたときの高さをa cmとする。また，三角錐ADPFにおいて，△AFPを底面としたときの高さをb cmとする。

　 $\frac{a}{b}$ の値を求めなさい。

(2022年度大分県公立高校入試問題)

解説を読む

(1)
△ABCは，∠BAC=90°の直角三角形だから，三平方の定理により
$\rm{AC}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (cm)

(2)
AP+PFがもっとも短くなるのは，右図の展開図においてAP, PFが直線になるときだから
$\rm{AP}=\rm{AF}\times\frac{4}{10}=\sqrt{10^2+ 5^2}\times\frac{2}{5}$
$=\sqrt{125}\times\frac{2}{5}=5\sqrt{5}\times\frac{2}{5}=2\sqrt{5}$ (cm)
(3)
①
(1),(2)の結果から
$\rm{AF}=\sqrt{5^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
(2)と同様にして， $\rm{PF}=\5\sqrt{5}\times\frac{3}{5}=3\sqrt{5}$ △AFPは， $\rm{AF}=3\sqrt{5},\hspace{3}\rm{FP}=3\sqrt{5},\hspace{3}\rm{AP}=2\sqrt{5}$ の二等辺三角形だから，底辺APからの高さは
$h=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-(\sqrt{5})^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
その面積は
$\rm{\Delta AFP}=\frac{2\sqrt{5}\times2\sqrt{10}}{2}=10\sqrt{2}$ (cm2)
②

【三角錐の体積を２通りの求め方で書く】

　三角錐の体積は，
　　(底面積)×(高さ)÷3
で求められるので，右図のような三角錐の場合は，
$\rm{V}=\frac{S_1h_1}{3}$ $=\frac{S_2\fbox{h_2}}{3}$
が成り立つ．
　これを利用すれば，高さh2が未知数のとき
$\fbox{h_2}$ $=\frac{S_1h_1}{S_2}$
によって求められる．

• 三角錐ADPCを，△ADCを底面と見なし，ABを高さと見ると，体積は
$\frac{2\sqrt{5}\times 5}{2}\times 4\div 3=\frac{20\sqrt{5}}{3}$
一方，△APCを底面と見なして，高さをaとおくと
$\rm{\Delta APC}=\frac{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{2}=10$
$10a\div 3=\frac{20\sqrt{5}}{3}$
$a=2\sqrt{5}$
• 三角錐ADPFを，△ADFを底面と見なし，ABを高さと見ると，体積は
$\frac{2\sqrt{5}\times 5}{2}\times 4\div 3=\frac{20\sqrt{5}}{3}$
一方，△AFPを底面と見なして，高さをbとおくと①の結果から
$\rm{\Delta AFP}=10\sqrt{2}$
$10\sqrt{2}\times b\div 3=\frac{20\sqrt{5}}{3}$
$b=\sqrt{10}$
以上により
$\frac{a}{b}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$
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