連立方程式

連立方程式（加減法のやさしい問題）

【例題１】　次の連立方程式を解いてください．

$3x+ 2y=5$ …(1)
$x+ 2y=-1$ …(2)

　２つの文字 $x,\hspace{3}y$ が含まれている連立方程式を解くには，加減法や代入法を使って，どちらか一方の文字を消去し，１つの文字だけの方程式に直して解くようにします．
　この問題のように $y$ の係数がそろっているときは，左辺どうし，右辺どうしを引くと $y$ を消去することができます．

【解き方の流れ】

$x$ が求まった後，その値を(2)に代入してもよい．

（答案）
(1)−(2)

$3x+ 2y=5$
$-)\hspace{10}x+ 2y=-1$

$2x\hspace{40}=6$
$x=3$

これを(1)に代入すると

$9+ 2y=5$
$2y=-4$
$y=-2$

$x=3,\hspace{5}y=-2$ …（答）

【問題１】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

※暗算では無理です．必ず計算用紙で計算してから答を選んでください．

(1)

$4x+ 3y=-5$ …(1)
$x+ 3y=1$ …(2)

解説やり直す

$x=1,\hspace{3}y=-2$ $x=-1,\hspace{3}y=2$

$x=2,\hspace{3}y=-1$ $x=-2,\hspace{3}y=1$

(1)−(2)

$4x+ 2y=-5$
$-)\hspace{10}x+ 3y=1$

$3x\hspace{40}=-6$
$x=-2$

これを(1)に代入すると

$-8+ 3y=-5$
$3y=3$
$y=1$

$x=-2,\hspace{5}y=1$ …（答）

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(2)

$6x+ 5y=3$ …(1)
$-4x+ 5y=23$ …(2)

解説やり直す

$x=-2,\hspace{3}y=-3$ $x=-2,\hspace{3}y=3$

$x=2,\hspace{3}y=-3$ $x=2,\hspace{3}y=3$

(1)−(2)

$6x+ 5y=3$
$-)\hspace{2}-4x+ 5y=23$

$10x\hspace{40}=-20$
$x=-2$

これを(1)に代入すると

$-12+ 5y=3$
$5y=15$
$y=3$

$x=-2,\hspace{5}y=3$ …（答）

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(3)

$5x-2y=7$ …(1)
$3x-2y=1$ …(2)

解説やり直す

$x=3,\hspace{3}y=4$ $x=4,\hspace{3}y=3$

$x=1,\hspace{3}y=1$ $x=1,\hspace{3}y=-1$

(1)−(2)

$5x-2y=7$
$-)\hspace{2}3x-2y=1$

$2x\hspace{30}=6$
$x=3$

これを(1)に代入すると

$15-2y=7$
$-2y=-8$
$y=4$

$x=3,\hspace{5}y=4$ …（答）

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【例題２】　次の連立方程式を解いてください．

$3x+ y=7$ …(1)
$2x-y=8$ …(2)

　この問題のように $y$ の係数の符号だけが違うときは，左辺どうし，右辺どうしを足すと $y$ を消去することができます．

（答案）
(1)+(2)

$3x+ y=7$
$+ )\hspace{0}2x-y=8$

$5x\hspace{20}=15$
$x=3$

これを(1)に代入すると

$9+ y=7$
$y=-2$

$x=3,\hspace{5}y=-2$ …（答）

【問題２】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$3x-2y=11$ …(1)
$x+ 2y=9$ …(2)

解説やり直す

$x=2,\hspace{3}y=5$ $x=5,\hspace{3}y=2$

$x=5,\hspace{3}y=-2$ $x=-2,\hspace{3}y=5$

(1)+(2)

$3x-2y=11$
$+ )\hspace{10}x+ 2y=9$

$4x\hspace{30}=20$
$x=5$

これを(1)に代入すると

$15-2y=11$
$-2y=-4$
$y=2$

$x=5,\hspace{5}y=2$ …（答）

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(2)

$3x+ 4y=-9$ …(1)
$-3x+ y=-6$ …(2)

解説やり直す

$x=3,\hspace{3}y=-1$ $x=3,\hspace{3}y=1$

$x=1,\hspace{3}y=-3$ $x=1,\hspace{3}y=3$

$y$ の係数はそろっていないが， $x$ の係数が符号だけ違うから，辺々足すと $x$ を消去できる

(1)+(2)

$3x+ 4y=-9$
$+ )\hspace{0}-3x+ y=-6$

$\hspace{30}5y=-15$
$y=-3$

これを(1)に代入すると

$3x-12=-9$
$3x=3$
$x=1$

$x=1,\hspace{5}y=-3$ …（答）

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(3)

$4x-3y=-2$ …(1)
$-4x+ 5y=6$ …(2)

解説やり直す

$x=1,\hspace{3}y=2$ $x=2,\hspace{3}y=1$

$x=-1,\hspace{3}y=2$ $x=2,\hspace{3}y=-1$

$y$ の係数はそろっていないが， $x$ の係数が符号だけ違うから，辺々足すと $x$ を消去できる

(1)+(2)

$4x-3y=-2$
$+ )\hspace{0}-4x+ 5y=6$

$\hspace{30}2y=4$
$y=2$

これを(1)に代入すると

$4x-6=-2$
$4x=4$
$x=1$

$x=1,\hspace{5}y=2$ …（答）

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【例題３】　次の連立方程式を解いてください．

$5x+ y=11$ …(1)
$3x+ 2y=1$ …(2)

　問題の式では $y$ の係数はそろっていませんが，(1)の両辺を２倍すると $y$ の係数がそろいます．
　そうすると，ここまでにやってきたように，左辺どうし，右辺どうしを引くと $y$ を消去することができます．

（答案）
(1)×2−(2)

$10x+ 2y=22$
$-)\hspace{10}3x+ 2y=1$

$7x\hspace{20}=21$
$x=3$

これを(1)に代入すると

$15+ y=11$
$y=-4$

$x=3,\hspace{5}y=-4$ …（答）

【問題３】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$5x+ 3y=-11$ …(1)
$2x+ y=-5$ …(2)

解説やり直す

$x=-2,\hspace{3}y=3$ $x=2,\hspace{3}y=-3$

$x=-4,\hspace{3}y=3$ $x=4,\hspace{3}y=-3$

(1)−(2)×3

$5x+ 3y=-11$
$-)\hspace{2}6x+ 3y=-15$

$-x\hspace{30}=4$
$x=-4$

これを(1)に代入すると

$-20+ 3y=-11$
$3y=9$
$y=3$

$x=-4,\hspace{5}y=3$ …（答）

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(2)

$x-3y=11$ …(1)
$2x+ 5y=0$ …(2)

解説やり直す

$x=2,\hspace{3}y=5$ $x=-5,\hspace{3}y=-2$

$x=-2,\hspace{3}y=5$ $x=5,\hspace{3}y=-2$

(1)×2−(2)

$2x-6y=22$
$-)\hspace{2}2x+ 5y=0$

$-11y=22$
$y=-2$

これを(1)に代入すると

$x+ 6=11$
$x=5$

$x=5,\hspace{5}y=-2$ …（答）

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(3)

$2x-y=7$ …(1)
$3x+ 4y=16$ …(2)

解説やり直す

$x=-1,\hspace{3}y=-4$ $x=1,\hspace{3}y=4$

$x=-4,\hspace{3}y=-1$ $x=4,\hspace{3}y=1$

(1)×4+(2)

$8x-4y=28$
$+)\hspace{2}3x+ 4y=16$

$11x\hspace{30}=44$
$x=4$

これを(1)に代入すると

$8-y=7$
$-y=-1$
$y=1$

$x=4,\hspace{5}y=1$ …（答）

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【例題４】　次の連立方程式を解いてください．

$2x+ 3y=1$ …(1)
$5x-4y=11$ …(2)

　 $x$ の係数も $y$ の係数もそろっておらず，係数が1となっている文字もないときは，(1)も(2)も何倍かして係数をそろえます．

左の答案は $y$ の係数をそろえて， $y$ を消去したものですが， $x$ の係数をそろえて消去することもできます．
(1)×5−(2)×2
$10x+ 15y=5$
$-)\hspace{2}10x-8y=28$

$23y=-23$
$y=-1$
以下(1)または(2)に代入して $x$ を求める．

（答案）
(1)×4+(2)×3

$8x+ 12y=4$
$+)\hspace{0}15x-12y=42$

$23x\hspace{20}=46$
$x=2$

これを(1)に代入すると

$4+ 3y=1$
$3y=-3$
$y=-1$

$x=2,\hspace{5}y=-1$ …（答）

※ $x$ を消去するのと $y$ を消去するのとでは，どちらが有利か？ ⇒ 普通の生徒なら，係数が大きくなるほど計算間違いしやすくなるので，小さな係数で済む方が有利でしょう．
　この問題なら，どちらでやっても似たようなものです．一度決めたら迷わずに，ていねいに計算することが重要です！

【問題４】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$5x+ 3y=13$ …(1)
$7x-2y=12$ …(2)

解説やり直す

$x=2,\hspace{3}y=1$ $x=1,\hspace{3}y=2$

$x=2,\hspace{3}y=3$ $x=3,\hspace{3}y=2$

$y$ の係数が小さいので， $y$ の係数をそろえると楽でしょう．
(1)×2+(2)×3

$10x+ 6y=26$
$+)\hspace{2}21x-6y=36$

$31x\hspace{30}=62$
$x=2$

これを(1)に代入すると

$10+ 3y=13$
$3y=3$
$y=1$

$x=2,\hspace{5}y=1$ …（答）

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(2)

$4x+ 7y=-1$ …(1)
$5x+ 3y=-7$ …(2)

解説やり直す

$x=-1,\hspace{3}y=2$ $x=2,\hspace{3}y=-1$

$x=1,\hspace{3}y=-2$ $x=-2,\hspace{3}y=1$

$x,\hspace{3}y$ のどちらの係数をそろえても，計算量は同じくらいです．ここでは $x$ をそろえてみます．
(1)×5−(2)×4

$20x+ 35y=-5$
$-)\hspace{2}20x+ 12y=-28$

$23y=23$
$y=1$

これを(1)に代入すると

$4x+ 7=-1$
$4x=-8$
$x=-2$

$x=-2,\hspace{5}y=1$ …（答）

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(3)

$3x-2y=6$ …(1)
$4x-5y=1$ …(2)

解説やり直す

$x=3,\hspace{3}y=4$ $x=4,\hspace{3}y=3$

$x=-3,\hspace{3}y=-4$ $x=-4,\hspace{3}y=-3$

$x,\hspace{3}y$ のどちらの係数をそろえても，計算量は同じくらいです．ここでは $y$ をそろえてみます．
(1)×5−(2)×2

$15x-10y=30$
$-)\hspace{2}8x-10y=2$

$7x\hspace{30}=28$
$x=4$

これを(1)に代入すると

$12-2y=6$
$-2y=-6$
$y=3$

$x=4,\hspace{5}y=3$ …（答）

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【例題５】　次の連立方程式を解いてください．

$3x+ 2y-12=x+ 3y$ …(1)
$3(x+ y)-2(x-y)+ 5=0$ …(2)

方程式の形が，

$\bigcirc x+ \bigtriangleup y=\S$ …(1)
$\spadesuit x+ \otimes y=\clubsuit$ …(2)
の形になっていないときは，見やすい形に変形してから解くようにします．

（答案）
(1)の右辺の $x,\hspace{3}y$ を左辺に，定数項−12を右辺にそれぞれ移項します．
$3x-x+ 2y-3y=12$
$2x-y=12$ …(1’)
(2)は展開して整理し，定数項5は右辺に移項します．
$3x+ 3y-2x+ 2y+ 5=0$
$x+ 5y=-5$ …(2’)
(1’)−(2’)×2