== 平行線と線分の比 ==

■三角形の相似条件
　右の(1)(2)(3)は三角形の相似条件と呼ばれており，そのうち１つでも成り立てば２つの三角形は相似になる．
　逆に，２つの三角形が相似であるとき，右の(1)(2)(3)はすべて成り立つ．
(1)の「２組の角がそれぞれ等しい」とは，たとえば右図２では
∠ABD=∠ACE
∠ADB=∠AEC
が成り立つことをいう．

(2)の「３組の辺の比がすべて等しい」とは，たとえば右図２では
AB:AC=BD:CE=AD:AE
x:y=m:n=k:l
が成り立つことをいう．

図１
■平行線と線分の比
　右図２のような図形において幾つかの辺の長さが分かっているとき，未知の辺の長さを求めるために図１の黄色の矢印に沿って辺の長さを求めることができる．
BD//CE のとき
○　まず図１の(1)が成り立つ．
前に習っているから，ここでは復習になるが一応証明しておくと次のようになる．
平行線の同位角は等しいから，
∠ABD=∠ACE
∠ADB=∠AEC
２つの角がそれぞれ等しいときは３つ目の角は180°から引いたものだから自動的に等しくなり，３つもいわなくてもよい．（実際には３つの角がそれぞれ等しくなる．）
○　矢印に沿って考えると，△ABD∽△ACEが言える．
○　さらに図1の(2)により x:y=m:n が成り立つから，これを利用すると分からない辺の長さが求められる．
◇要点1◇
　右図２において BD//CE のとき，
△ABD∽△ACE
x:y=m:n=k:l
が成り立つ．
例１
右図２において BD//CE , x=4 , y= 6 , m=6 のとき，n の長さを求めなさい．
（解答）
4:6=6:n
4n=36
n=9 …（答）

図2
例題１
　右図3において BD//CE , m=4 , n=5 , a=3 のとき，b の長さを求めなさい．
（解答）
4:5=3:b
4b=15
b = …（答）
【問題１】
　図3において BD//CE , a=12 , b=15 , y=20 のとき，x の長さを求めなさい．（正しいものを選びなさい）
8　9　10　12

14　15　16　18
【問題２】
　図3において BD//CE , x=3 , y=5 , a=2 のとき，b の長さを求めなさい．（正しいものを選びなさい）
3　4　5　6

　　　


図3
◇要点2◇
　右図４において BD//CE のとき，
x:z=a:c
が成り立つ．
　（証明）　右図4において BF//DE となるように BF をひくと，△ABD∽△BCF，BF=DE=c となるから，
x:z=a:c
が成り立つ．
図4
例題２
　右図5において BD//CE , x=12 , z=8 , a=6 のとき，c の長さを求めなさい．
（解答）
12:8=6:c
12c=48
c=4 …（答）
【問題３】
　図5において BD//CE , a=5 , c=2 , z=3 のとき，x の長さを求めなさい．（正しいものを選びなさい）
3　4　5　6

　　　


図5
例題３
　右図6において BD//CE , m=5 , n=6 , z=2 のとき，x の長さを求めなさい．
（解答）
※x:z=m:n などとはならないので注意!!
　「相似図形の辺の比」にすれば等しいと言える!!
x:(x+2)=5:6
6x=5(x+2)
6x=5x+10
x=10 …（答）
【問題４】
　図6において BD//CE , m=9 , n=12 , x=6 のとき，z の長さを求めなさい．（正しいものを選びなさい）
1　2　3　4

　　8　18

【問題５】
　図6において BD//CE , x=7 , z=2 , m=6 のとき，n の長さを求めなさい．（正しいものを選びなさい）
7　8　9　10

　　　


図6

【問題６】
　次図7において BD//CE , m=8 , n=12 , c=3 のとき，a の長さを求めなさい．（正しいものを選びなさい）
2　3　4　5

6　7　8　9
図7
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