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=== 平行線と線分の比 ===
■三角形の相似条件
 次の(1)(2)(3)は三角形の相似条件と呼ばれており,そのうち1つでも成り立てば2つの三角形は相似になる.
 逆に,2つの三角形が相似であるとき,次の(1)(2)(3)はすべて成り立つ.

≪図1≫


≪図2≫
(1)の「2組の角がそれぞれ等しい」とは,たとえば次図3では
∠ABD=∠ACE
∠ADB=∠AEC
が成り立つことをいう.

(2)の「3組の辺の比がすべて等しい」とは,たとえば次図3では
AB:AC=BD:CE=AD:AE
x:y=m:n=k:l
が成り立つことをいう.

≪図3≫


■平行線と線分の比
 上の図3のような図形において幾つかの辺の長さが分かっているとき,未知の辺の長さを求めるために図1の黄色の矢印に沿って辺の長さを求めることができる.
BD//CE のとき
○ まず図1の(1)が成り立つ.
前に習っているから,ここでは復習になるが一応証明しておくと次のようになる.
平行線の同位角は等しいから,
∠ABD=∠ACE
∠ADB=∠AEC
2つの角がそれぞれ等しいときは3つ目の角は180°から引いたものだから自動的に等しくなり,3つもいわなくてもよい.(実際には3つの角がそれぞれ等しくなる.)
○ 矢印に沿って考えると,△ABD∽△ACEが言える.
○ さらに図1の(2)により x:y=m:n が成り立つから,これを利用すると分からない辺の長さが求められる.
◇要点1◇
 上の図3において BD//CE のとき,
ABD∽△ACE
x:y=m:n=k:l
が成り立つ.
【例】
図3において BD//CE , x=4 , y= 6 , m=6 のとき,n の長さを求めなさい.
(解答)
4:6=6:n
4n=36
n=9 …(答)
【例題1】
 次図4において BD//CE , m=4 , n=5 , a=3 のとき,b の長さを求めなさい.
(解答)
4:5=3:b
4b=15
b = …(答)

図4
【問題1】
 図4において BD//CE , a=12 , b=15 , y=20 のとき,x の長さを求めなさい.(正しいものを選びなさい)
8 9 10 12

14 15 16 18
【問題2】
 図4において BD//CE , x=3 , y=5 , a=2 のとき,b の長さを求めなさい.(正しいものを選びなさい)
3 4 5 6

   


◇要点2◇
 次図5において BD//CE のとき,
x:z=a:c
が成り立つ.
 (証明) 次図5において BF//DE となるように BF をひくと,△ABD∽△BCFBF=DE=c となるから,
x:z=a:c
が成り立つ.

≪図5≫
【例題2】
 次図6において BD//CE , x=12 , z=8 , a=6 のとき,c の長さを求めなさい.
(解答)
12:8=6:c
12c=48
c=4 …(答)

≪図6≫
【問題3】
 図6において BD//CE , a=5 , c=2 , z=3 のとき,x の長さを求めなさい.(正しいものを選びなさい)
3 4 5 6

   




【例題3】
 次図7において BD//CE , m=5 , n=6 , z=2 のとき,x の長さを求めなさい.

≪図7≫
(解答)
x:z=m:n などとはならないので注意!!
 「相似図形の辺の比」にすれば等しいと言える!!
x:(x+2)=5:6
6x=5(x+2)
6x=5x+10
x=10 …(答)
【問題4】
 図7において BD//CE , m=9 , n=12 , x=6 のとき,z の長さを求めなさい.(正しいものを選びなさい)
1 2 3 4

  8 18


【問題5】
 図7において BD//CE , x=7 , z=2 , m=6 のとき,n の長さを求めなさい.(正しいものを選びなさい)
7 8 9 10

   


【問題6】
 次図8において BD//CE , m=8 , n=12 , c=3 のとき,a の長さを求めなさい.(正しいものを選びなさい)
2 3 4 5

6 7 8 9
図8


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