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■ (例題対比)連立方程式
この頁の内容
○ この頁では,次の3つの形の連立方程式の解き方について,例題を見ながら自分で解けるようになることを目指します.

(A)
{ y=2x+1 …(1)
y=3x−5 …(2)
(B)
{ y=2x+1 …(1)
2x−3y=−11 …(2)
(C)
{ 3x+4y=−6 …(1)
4x−3y=21 …(2)
○ 「連立方程式の解」とは,左の例 (A) などにおいて2つの方程式を両方とも満たす x , y の値のことです.
○ 連立方程式の解を求めるには,まず,未知数が1つだけ(たとえば x だけ)の方程式を作って,解くことを考えます.
 x だけの方程式なら解けるからです.
 このように,連立方程式を解くには「未知数を1個にする」ことが鍵です.次の流れ図を思い浮かべるとよいでしょう.
[ ア ] 未知数2つ
{ y=2x−1
y=x+1
[ イ ] 未知数1つ
2x−1=x+1
      解ける
[ エ ] 解2つ
x=2 , y=3
[ ウ ] 解1つ
x=2

○ 未知数の個数を2個から1個に減らす方法として「代入法」と「加減法」がよく使われます.この頁では(A)(B)を代入法で,(C)を加減法で説明します.
[例題 A 次の連立方程式を解きなさい.
{ y=2x+1 …(1)
y=3x−5 …(2)
この形の連立方程式は,(1)の右辺を(2)の y のところに「代入」して, y を消去すれば解けます.
(答案)
(1)の右辺を(2)の左辺に代入する. (単に,「(1)を(2)に代入する」ともいう.)
______2x+1=3x−5 x だけの方程式の解き方は中学1年生のときに習っている.右上の流れ図の[イ]に対応.)
______2x−3x=−5−1
______−x=−6
______x=6 ( 右上の流れ図の[ウ]に対応.)
この x を(1)に代入すると
______y=2×6+1=13 ( 右上の流れ図の[エ]に対応.)
よって連立方程式の解は
______x=6 , y=13 …(答)
( このようにして得られた解は(1)(2)を満たします.
実際,これらを(1)(2)に代入して見ると
______13=2×6+1
______13=3×6−5
が成り立っている. )
[問題1] 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい.
{ y=−2x+1 …(1)
y=x−5 …(2)
(答案)
(1)を(2)に代入すると
______
これを解くと
______x= …(3)
(3)を(1)に代入すると
______y=
ゆえに,x=y= …(答)

採点する やり直す 解答

[例題 B 次の連立方程式を解きなさい.
{ y=2x+1 …(1)
2x−3y=−11 …(2)
この形の連立方程式も,(1)の右辺を(2)の y のところに「代入」して, y を消去すれば解けます.
(答案)
(1)を(2)に代入すると
______2x−3(2x+1)=−11 (右上の流れ図の[イ]に対応)
______2x−6x−3= -11
______−4x=−8
______x=2 (右上の流れ図の[ウ]に対応)
x=2 を(1)に代入すると
______y=2×2+1=5 (右上の流れ図の[エ]に対応)
よって連立方程式の解は
______x=2 , y=5 …(答)
[問題2] 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい.
{ y=4x−5 …(1)
5x−2y=1 …(2)
(答案)
(1)を(2)に代入すると
______
これを解くと
______x= …(3)
(3)を(1)に代入すると
______y=
ゆえに,x=y= …(答)

採点する やり直す 解答


[例題 C1 次の連立方程式を解きなさい.
{ 3x+2y=1 …(1)
x+2y=−5 …(2)
連立方程式では,1つの文字を「消去」して文字の個数を減らせばよい.
この形の連立方程式では,(1)(2)の y の係数がそろっているところに着目すると,(1)(2)の各辺を「引き算」すると y を消去できます.
(答案)
(1)-(2)
.3x+2y=1
.−) x+2y=−5

_______2x___=6
_______x=3
x=3 を(1)に代入すると
______3×3+2y=1
______2y=−8
______y=−4
よって連立方程式の解は
______x=3 , y=−4 …(答)

[例題 C2 次の連立方程式を解きなさい.
{ 3x−4y=7 …(1)
5x+4y=33 …(2)
この連立方程式では,(1)(2)の y の係数の符号だけが逆の同じ係数になっているので,(1)(2)の各辺を「足し算」すると y を消去できます.
(答案)
(1)+(2)
.3x−4y=7
.+ ) 5x+4y=33

.8x___=40
.x=5
これを(1)に代入すると
.3×5−4y=7
______−4y=−8
______y=2
よって連立方程式の解は
______x=5 , y=2 …(答)
○ (1)(2)式の(左辺)-(左辺)=(右辺)-(右辺)とする変形はよく使われる.(「辺々引く」という.)
______A=B
______C=D
のとき,等しいものから同じものを引けば等しいので
______A−C=B−C ←両辺から C を引いた
ところで,C=D だから,右辺は B−C=B−D
この結果は A−C=B−D と書ける.

上に書いた変形は長いので,通常,次のように縦書で考える.

.A=B
.−) C=D

.A−C=B−D


これにより,次のような計算ができる.
.5x+3y=7
.−) 2x+3y=1

.3x___=6

[問題3] 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい.
{ 4x+3y=−9 …(1)
5x+3y=−12 …(2)
(答案)
(1)-(2)
.4x+3y=−9
.−) 5x+3y=−12

______
これを解くと
______x= …(3)
(3)を(1)に代入すると
______
______y=
ゆえに,x=y= …(答)

採点する やり直す 解答

[問題4] 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい.
{ 6x+5y=17 …(1)
8x−5y=11 …(2)
(答案)
(1)+(2)
.6x+5y=17
.+ ) 8x−5y=11

______
これを解くと
______x= …(3)
(3)を(1)に代入すると
______
______y=
ゆえに,x=y= …(答)

採点する やり直す 解答


[例題 C3 次の連立方程式を解きなさい.
{ 4x+3y=6 …(1)
3x+2y=5 …(2)
この連立方程式では,x の係数も y の係数もそろっていないので,それぞれ何倍かして係数をそろえます.
(答案)
(1)×2-(2)×3
.8x+6y=12
.−) 9x+6y=15

.−x___=−3
.x=3
(1)×3-(2)×4で x を消去する方法もある
これを(1)に代入すると
______4×3+3y=6
______3y=−6
______y=−2
よって連立方程式の解は
______x=3 , y=−2 …(答)
[問題5] 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい.
{ 2x+3y=3 …(1)
3x−y=10 …(2)
この問題のように一方の y の係数が ,1 または −1 のときは,相手方の係数を掛けると係数をそろえることができます.
(答案)
(1)+(2)×3
.2x+3y=3
.+ ) 9x−3y=30

______
これを解くと
______x= …(3)
(3)を(1)に代入すると
______
______y=
ゆえに,x=y= …(答)

採点する やり直す 解答
【付録:自由研究】
 各自で確かめたい連立方程式を書き込んでください.
ただし
• 整数係数の問題に限ります.
• 解がただ一つに定まる問題に限ります.
{
()x+()y=() …(1)
()x+()y=() …(2)
解く消す

(参考):この問題解きプログラムを使うとき
※次のように右辺または両辺にがあったり,左辺に定数がある問題は,移項してを左辺に集め,定数を右辺に集めてから解きます.
移項する
移項する
※次のような分数係数の問題は,分母を払って整数係数の問題に直してから解きます.
6を掛ける

※次のような小数係数の問題は,10倍,100倍して整数係数の問題に直してから解きます.
10を掛る
100を掛ける

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