問題以上,答以下
 文章題では,問題をじっくり読むことが大切です.
ここでは答を気にせずに,問題を読むことに集中しましょう.
《もとの問題》
 右の図のように,平行四辺形ABCDの辺BC,CDをそれぞれ一辺とする正三角形BEC,正三角形CFDをつくり,3点A,E,Fをそれぞれ直線で結ぶ.
 三角形AEFは正三角形であることを証明しなさい.
 (「群馬県 平成11年度」問題の引用)


《答える前に》 
 結論の「三角形AEFは正三角形である.」を示すために,AE=EF・・・(*) と AF=EF・・・(**) に分けて証明しようと考えた.


AE=EF・・・(*)について
 もとの問題において,ABCDが「平行四辺形」であるとされていることから,辺ABと長さが等しいといえるのはどの辺ですか.・・・(1) 
(1つ選びなさい→) BC , CD , DA
 もとの問題において,三角形BECが「正三角形」であるとされていることから,辺BEと長さが等しいといえるのはどの辺ですか.
(1つ選びなさい→) AB ,CE , FC
 さらに,三角形CFDが「正三角形」であるとされていることから,CD=FCもいえます.
 以上から,AB=FC・・・(2)
(*)を証明するために,△ABEと△FCEの合同を利用するとすれば,次の合同条件のうち利用できるものはどれですか.
(1つ選びなさい→)
対応する三辺がそれぞれ等しいこと(AB=FC,BE=EA,EC=EF)を示す
二辺とその間の角が等しいこと(AB=FC,BE=CE,ABE=FCE)を示す
二辺とその間の角が等しいこと(BE=CE,EA=EF,BEA=CEF)を示す
二辺とその間の角が等しいこと(EA=EF,AB=FC,EAB=EFC)を示す
二角とその間の辺が等しいこと(BEA=CEF,EAB=EFC,EA=EF)を示す

ABE=FCEは次のように示されます.空欄を埋めなさい.
ABE=ABC+60
FCE=360−120BCD=240BCD
    =240−(ABC)=60ABC
ゆえに ABE=FCE・・・(3)

(1)(2)(3)より,△ABEと△FCEは合同となり,AE=EF・・・(*)


同様にして,△FDAと△FCEの合同から,AF=EF・・・(**)が示されます.
(*)(**)より△AEFは正三角形であることがいえます.
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■[個別の頁からの質問に対する回答][合同の利用について/17.3.4]
上の(180−ABC)の意味がわかりません。なぜでしょうか。
=>[作者]:連絡ありがとう.ABCDは平行四辺形だから∠BCD=180°−∠ABCです.
なお,相手のある場面でこのように質問するのは不利です.「意味がわかりません。なぜでしょうか。」となって,あなたの心的過程の問題点が主題になり,質問を読まなくても「それはあなたの学力不足でしょう」となってしまうからです.「上の(180−ABC)は,なぜでしょうか。」と問うことにより,解説に不備があるのではないかと攻め込むことができます.




















































































































(もとの問題の答)
 
ABCDは平行四辺形だから,AB=DC
△CFDは正三角形だから,DC=FC
 よって,AB=FC・・・(1)

△BECは正三角形だから,BE=CE・・・(2)

ABE=ABC+60
FCE=360−120BCD
 =240−(180ABC)
 =60ABC
 よって,ABE=FCE・・・(3)


(1)(2)(3)より△ABEと△FCEについて二辺とその間の角が等しいから
△ABEと△FCEは合同
 ゆえに,AE=FC・・・(*)

同様にして,DA=CB=CE,FD=FC,ABE=FCEがいえるから
△FDAと△FCEは合同
 ゆえに,FA=FC・・・(**)

(*)(**)よりAE=FC=FAとなり,△AEFは正三角形



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