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(I) 三角形の面積(小学校で習う基本公式)
 右図1のような三角形の面積は、いずれも
(底辺)×(高さ)÷2
 で求められます。
 次のように分数の形で書くこともできます。
(面積)=

(1) 2で割ることを忘れる答案が多いので注意しましょう。
 右図2の三角形の面積は、4×3=12ではなく、4×3÷2=6になります。

(2) 高さは必ず底辺に垂直(直角)な線で測らなければなりません。
 右図3の三角形ABCで、底辺BCに対する高さは6になりますから、面積は5×6÷2=15になります。

(3) 見かけ上は複雑な図形でも「三角形の面積を引く」と面積が簡単に求まることがあります。
 右図4の多角形ABCDEは長方形ABCFから三角形DFEを取り除いたものになっているから、その面積を求めるには:
長方形ABCFの面積4×5=20から
三角形DFEの面積3×4÷2=6を引いて
14になります。

 右図5の三角形ABCは正方形から3個の三角形を取り除いたものだから、その面積は16−(2+4+4)=6になります。

 右図6の凹四角形ABCDは三角形ABDから三角形BDCを取り除いたものだから、その面積は
=12−6=6になります。
(4) 縮尺図を用いて表しているときに実際の図形の面積を求めるには、各辺の実際の長さを求めてから計算しなければなりません。
 右図7は実際の地形で500(m)に相当する長さを1(cm)で表した設計図だとします。このとき、実際の地形で三角形ABCの面積を求めるには:
BD=3×500=1500(m)
AC=4×500=2000(m)
三角形ABCの面積は1500×2000÷2=1500000(m2)になります。

(5) 面積と底辺が分かれば高さを求めることができます。
(面積)=

(高さ)=
  同様にして、面積と高さから底辺を計算することもできます。

(底辺)=
 右図8において三角形ABCの面積は9×12÷2=54です。
 一方で、ACを底辺と見ると、三角形ABCは面積と底辺が分かっていることになり、
 54=15×BD÷2よりBD=7.2
図1

図2
図3
図4
図5
図6
図7


図8
≪問題1≫ 各々正しいものを選択肢から選んでください。

(1) 左のABCの面積は

10 16 20 32 40

 




(2) 左のABCの面積は

2 6 7 9 12

 




(3) 左のABCの面積が48であるとき、ADの長さは

6 8 10 12 14

 




(II) 三角形の面積の比
 三角形の面積は
(底辺)×(高さ)÷2
 で求められますので、(底辺)の長さが等しい2つの三角形の面積の比は(高さ)の比に等しくなります。

 (高さ)が等しい2つの三角形の面積の比は(底辺)の比に等しくなります。
 右図9において三角形ABCBCDとは、底辺BCの長さが等しいから、
ABC=BC×5÷2
BCD=BC×3÷2
それらの面積の比は、ABC:BCD=5:3になります。
BCの長さが書いてなくても、面積の比は求められます。)
 右図10において三角形ABCCDAとは、高さhが等しいから、
ABC=4×h÷2
CDA=7×h÷2
それらの面積の比は、ABC:CDA=4:7になります。
(高さhが書いてなくても、面積の比は求められます。)
 右図11においてABCDAD/BCの台形とする。このとき、三角形ABDBCDとは、高さが等しいから面積の比は底辺の比に等しく、3:5になります。
 右図12においてABCDAD/BCの台形とする。このとき、三角形ABCBCDとは、底辺が共通で高さが等しいから面積が等しい。次に、共通に含まれる三角形BCEを取り除くと、三角形ABEの面積と三角形CDEの面積は等しくなります。
 これらの面積が等しいのは、AD/BCのためであり、ABDCは平行でないから、三角形AEDの面積と三角形BCEの面積は等しくない(ADBCである限り、等しいとは限らない)。
図9
図10
図11
図12
(III) 斜辺の比と高さの比
 右図13のように、2つの三角形の辺が1つの斜辺上にあるとき、これらの三角形の高さの比は斜辺の長さの比に等しくなります。
 右図13において△BEDと△BFAは相似だから、AF:DE=AB:DB

 右図14において△DEGと△DFAは相似だから、AF:GE=AD:GD

この性質により三角形の面積比について、次のことがいえます。
 右図13において△BCDと△BCAは、底辺が共通だからそれらの面積比は高さの比に等しく、DB:ABに等しい。

 右図14において△BCGと△BCAは、底辺が共通だからそれらの面積比は高さの比に等しく、GD:ADに等しい。
図13
図14
≪問題2≫ 各々正しいものを選択肢から選んでください。

(1) 左図において四角形ABCDAD//BCとなる台形であるとき、三角形ADCと三角形ABCの面積比を求めてください。

ADC:ABC=
3:4 3:5 3:7 4:15 5:7

 


(2) 左図においてABDBCDの面積比を求めてください。
ABD:BCD=
1:3 2:3 3:5 5:7 6:7


(3) 左図においてABDCADの面積比を求めてください。
ABD:CAD=
2:3 3:4 4:5 5:6 8:15

 




(IV) 1つの角が共通であるときの三角形の面積の比
 右図15のように、2つの三角形について1つの角が共通であるとき、これらの三角形の面積の比は共通な角を挟む2辺の積の比になります。
 右図15において△BEDと△BCAの底辺(BC上にとるものとする)の比は、3:7
 また、高さの比は2:5だから
BEDと△BCAの面積の比は3·2 : 7·5=6 : 35
(△BEDや△BCAの面積が6と35になるということではない。それらの比が求まるということ。)

 右図16において△BCEと△ACDの底辺の比は、13:7、高さの比は3:5だから、△BCEと△ACDの面積の比は39:35
図15
図16
≪問題3≫ 各々正しいものを選択肢から選んでください。

(1) 左図において三角形DBEと三角形ABCの面積比を求めてください。

DBE:ABC=
2:3 3:4 3:10 4:5 8:15

 


(2) 左図においてABPBCPの面積比を求めてください。
ABP:BCP=
6:5 7:4 7:11
21:10 21:22

 

(3) 左図においてABPCDPの面積比を求めてください。
ABP:CDP=
3:7 4:5 7:12 12:35 15:28

 




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