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=== 三平方の定理の逆 ===
《解説》
■次のような直角三角形の三辺の長さについては,
a2+b2=c2
が成り立ちます.(これを三平方の定理といいます.)
■逆に,三辺の長さについて,
a2+b2=c2
が成り立つとき,その三角形は直角三角形です.
(これを三平方の定理の逆といいます.)
 一番長い辺が斜辺です.

※ 直角三角形であるかどうかを調べるには,
a2+b2c2 を比較してみれば分かります.
【例】
 三辺の長さが 3,4,5 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには,
5 が一番長い辺だから,
  42+52=?=32
  52+32=?=42

  が成り立つ可能性はないから,調べる必要はない.

  32+42 =?= 52
  が成り立つかどうか調べればよい.

32+42=9+16=25 , 52=25 だから,32+42=52
ゆえに,直角三角形である.

【例】
 三辺の長さが 4 , 5 , 6 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには,
42+5262 により,直角三角形ではないといえる.

【要点】
 小さい方の2辺を直角な2辺として,2乗の和 a2+b2 を作り,一番長い辺を斜辺としc2 を作る.
a2+b2=c2 ⇒ 直角三角形
a2+b2≠c2 ⇒ 直角三角形ではない

■問題1 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい.
(4組のうち1組が直角三角形です.)
(1)
 「3 , 3 , 4」    「3 , 4 , 4」 

3 , 4 , 5」   「3 , 4 , 6
(2)
 「1 , 2 , 2」   「1 , 2 ,

1 , 2 , 」   「1 , 2 ,
(3)
 「1 , , 」   「1 , ,

1 , , 2」    「1 , , 3
(4)
 「5 , 11 , 12」   「5 , 12 , 13

6 , 11 , 13」   「6 , 12 , 13
(5)
 「8 , 39 , 41」   「8 , 40 , 41

9 , 39 , 41」   「9 , 40 , 41


■問題2 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい.
(むずかしい)

(1)
, + ,
, + , 2
, + , 4
, + , 8


Help
(2)
3 −1 , 3 +1 , 2
3 −1 , 3 +1 , 6
, + , 2
, + , 9


Help
(3)
2 , +2 , 2
2 , +2 , 2
2 , +2 , 5
2 , +2 , 3


Help

=== ピタゴラス数の問題 ===
○ 次の式の m , n に適当な正の整数(ただし m>n)を入れれば,「三辺の長さが整数となる直角三角形」ができます. (正の整数で三平方の定理を満たすものは,ピタゴラス数と呼ばれます.)

(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2

左辺は 4m2n2+m4-2m2n2+n4
右辺は m4+2m2n2+n4 だから等しい

 m=2,n=1 を代入すると 42+32=52 となります.(このとき,3 , 4 , 5 の組がピタゴラス数)
■(自由研究)
 左の式を利用して,三辺の長さが整数となる直角三角形を1組見つけなさい.(上の問題にないもので答えなさい・・・ただし,このホームページでは,あまり大きな数字の計算はできないので,どの辺の長さも100以下で答えなさい.)
2+2=2

参考↓


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