■ 三平方の定理の逆 → 携帯版は別頁

《解説》
■次のような直角三角形の三辺の長さについては,
a2+b2=c2
が成り立ちます.(これを三平方の定理といいます.)
■逆に,三辺の長さについて,
a2+b2=c2
が成り立つとき,その三角形は直角三角形です.
(これを三平方の定理の逆といいます.)
 一番長い辺が斜辺です.

※ 直角三角形であるかどうかを調べるには,
a2+b2c2 を比較してみれば分かります.

 三辺の長さが 3,4,5 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには,
5 が一番長い辺だから,
  42+52=?=32
  52+32=?=42

  が成り立つ可能性はないから,調べる必要はない.

  32+42 =?= 52
  が成り立つかどうか調べればよい.

32+42=9+16=25 , 52=25 だから,32+42=52
ゆえに,直角三角形である.


 三辺の長さが 4 , 5 , 6 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには,
42+5262 により,直角三角形ではないといえる.

【要点】
 小さい方の2辺を直角な2辺として,2乗の和 a2+b2 を作り,一番長い辺を斜辺としc2 を作る.
これらが等しいとき ⇒ 直角三角形(他の組合せで,a2+b2=c2 となることはない.)
これらが等しくないとき ⇒ 直角三角形ではない

■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい.

(4組のうち1組が直角三角形です.)
(1)
 「3 , 3 , 4」    「3 , 4 , 4」   「3 , 4 , 5」   「3 , 4 , 6
(2)
 「1 , 2 , 2」   「1 , 2 , 」   「1 , 2 , 」   「1 , 2 ,
(3)
 「1 , , 」   「1 , , 」   「1 , , 2」    「1 , , 3
(4)
 「5 , 11 , 12」   「5 , 12 , 13」   「6 , 11 , 13」   「6 , 12 , 13
(5)
 「8 , 39 , 41」   「8 , 40 , 41」   「9 , 39 , 41」   「9 , 40 , 41

■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい.(ややむずかしい)

(1)
, + ,
, + , 2
, + , 4
, + , 8
Help
(2)
3 −1 , 3 +1 , 2
3 −1 , 3 +1 , 6
, + , 2
, + , 9
Help
(3)
2 , +2 , 2
2 , +2 , 2
2 , +2 , 5
2 , +2 , 3
Help
■ ピタゴラス数の問題
○ 次の式の m , n に適当な正の整数(ただし m>n)を入れれば,「三辺の長さが整数となる直角三角形」ができます. (正の整数で三平方の定理を満たすものは,ピタゴラス数と呼ばれます.)

(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2

左辺は 4m2n2+m4-2m2n2+n4
右辺は m4+2m2n2+n4 だから等しい

 m=2,n=1 を代入すると 42+32=52 となります.(このとき,3 , 4 , 5 の組がピタゴラス数)
■ 問題
 左の式を利用して,三辺の長さが整数となる直角三角形を1組見つけなさい.(上の問題にないもので答えなさい・・・ただし,このホームページでは,あまり大きな数字の計算はできないので,どの辺の長さも100以下で答えなさい.)
2+2=2


.






参考↓






























ピタゴラス数の例(小さい方から幾つか)
 (ただし,朱色で示した組は公約数があり,より小さな組の整数倍となっている)

m n 2mn m2−n2 m2+n2 成り立つ関係
2 1 4 3 5 42+32=52
3 1 6 8 10 62+82=102
3 2 12 5 13 122+52=132
4 1 8 15 17 82+152=172
4 2 16 12 20 162+122=202
4 3 24 7 25 242+72=252
5 1 10 24 26 102+242=262
5 2 20 21 29 202+212=292
5 3 30 16 34 302+162=342
5 4 40 9 41 402+92=412
6 1 12 35 37 122+352=372
6 2 24 32 40 242+322=402
6 3 36 27 45 362+272=452
6 4 48 20 52 482+202=522
6 5 60 11 61 602+112=612
7 1 14 48 50 142+482=502
7 2 28 45 53 282+452=532
7 3 42 40 58 422+402=582
7 4 56 33 65 562+332=652
7 5 70 24 74 702+242=742
7 6 84 13 85 842+132=852
8 1 16 63 65 162+632=652
8 2 32 60 68 322+602=682
8 3 48 55 73 482+552=732
8 4 64 48 80 642+482=802
8 5 80 39 89 802+392=892
8 6 96 28 100 962+282=1002
8 7 112 15 113 1122+152=1132
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