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== 無理式の極限 ==
【例1】

のような数列の極限ではがどんどん大きくなろうとしているのに対して,が足を引っ張って小さくしようとしているので,「見かけ上」は

の形になっています.大きくする方と小さくする方のどちらが強いのか,そのままの形では判断できません.
 このような形の無理式の極限を求めるには
まず,次の展開公式を思い出します

その応用として,次のように使えます

初めの例では

だから

 このように,根号を含んだ式の「分子を有理化」すると「根号を2乗してから引く式が出てくる」ので「根号の中身の引き算ができ」ます.
 この後,初めの式は
により,分母が無限大になるので

となって,極限が求まります.

【例2】

のような数列の極限では分子のがどんどん大きくなろうとしているのに対して,分母のが足を引っ張って小さくしようとしているので,「見かけ上」は

の形になっています.大きくする方と小さくする方のどちらが強いのか,そのままの形では判断できません.
 このような形の無理式の極限を求めるには
 分子の最大項と分母の最大項を直接比較できるように,分子,分子をそれぞれの最大項でくくります.
ここで,根号の割り算についての次の公式を思い出します(ただし,

これにより,根号の中身同士が直接約分できるところがミソです
 この後,初めの式は

により

になります.
 のままで変形していくと,答案は次のようになります


【ここまでの要約】
(1) 
のような ∞−∞ の形の数列の極限を求めるには,分子の有理化を行って,根号の中身の引き算ができるようにする.
(2) 
のような
の形の数列の極限を求めるには,分子,分子をそれぞれの最大項でくくって最大項同士の約分に持ち込む.
《問題》 第n項が次の式で表わされる数列の極限を下の選択肢から選びなさい.



[第1問 / 全10問]


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