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== 根号計算の入試問題 ==

*** 目次 ***(クリックすればその項目にジャンプします)




[1] 分母の有理化
【例題1】
 
(解説)
このような式を簡単にするとき「通分する」と分母は3つの式の積になり,分子は2つずつの積の形になります.(これは不利です)

しかし「1つずつ有理化する」と残りの2つの式とは無関係にできます.(この方が有利です)

【要点1】
根号を含む分数が幾つもある場合,通分よりも分母の有理化の方が有利
引用元の問題は記述式の問題ですが,以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため,選択問題に変えています.
まぐれ当たりでは力が付きませんので,計算用紙を使って,よく考えてから選択肢の内の1つをクリックしてください.解答すれば解説が出ます.
なお,答案はこの教材の筆者が作成したものです.間違い等がありましたらお知らせください.
【問題1】

を計算せよ.
(尾道大2005年度)
1 2 3 5 6
【類題】

を計算せよ.

[2] 対称式の値
【例題2】
 とする.このとき

の値をそれぞれ求めよ.
(埼玉大2001年度)
(解説)

また


だから




【要点2】
のような「対称式」の値は,「基本対称式」を利用して求める.
【問題2】
(1)
のとき,の値を求めよ.
(防衛大2016年度)
(2)
のとき,次の式の値を求めよ.
(i) (ii)
(東北学院大2016年度)
(i) (ii)

[3] 逆数の和の値
【要点3】

のように逆数の和になっている式の値は,で表すことができる.



または


または

※結果を覚える必要はない.次数の低い式で作ってみて,「後出しジャンケン」風に多い分を引けばよい.
【問題3】
(1)

のとき,
(工学院大2014年度)
(ア)
1 2 3 4 5
(イ)
(2)

のとき,である.
(東北学院大2014年度)


[4] 二重根号
二重根号は,高等学校学習指導要領から一時期消えていて,平成21年改訂後の教科書では発展学習として復活しています.
【要点3】

のとき

だから

です.
【例】


同様にしてのとき


だから

です.
【例】


※いずれも,内側の根号の前に2が付いている場合に,和と積が与えられた2数を求めると二重根号がはずれます.
【問題4】
[1]
とする.このaを2重根号を使わずに簡単な形で表すとa=と表せる.
また,a5−4a4+2a3−4a2+a−2の値はである.
(慶応義塾大2005年度)
の値)
の値)
[2]
のとき,の値を求めよ.
(岩手大2011年度)
2 3 6 12 18

[5] 整数部分,小数部分
【要点4】

例えば
の小数部分をaとするとき,a2の値を求めよ
という問題において
a2=0.41421···2=0.1715699···
などという答は近似値に過ぎず,小数を無限に書いていくこともできません.
この問題について正確に答えるには,から,初めに整数部分を求めます
整数部分は1
次に,整数部分を取り除いたものが小数部分です.
小数部分は
の小数部分をaとするとき,a2の値は
【例題5】
の整数部分をa,小数部分をbとするとき,a=である.また,の整数部分はである.
(北海道工業大2005年度)
(解説)

だから


の整数部分は1
【問題5】
[1]
の整数部分をa,小数部分をbとする.このとき,a2+ab+b2の値を求めよ.
(琉球大2011年度)
a2+ab+b2)の値
6 7 8 9 10
)の値
[2]
の小数部分をaとするとき,次の設問に答えよ.
(1) aの値を求めよ.
(2) の値を求めよ.
(3) a3+4a2+2a−3の値を求めよ.
(岡山理科大2005年度)
(1) aの値
(2) の値
(3) a3+4a2+2a−3の値
0 1 2 3 4
[3]
の小数部分をaとするとき,aは2次方程式
x2+x+=0の解であり,a3+6a2−21a+23の値は+である.

(早稲田大2014年度)
x2+x+=0の式)
a3+6a2−21a+23の値)

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