2点間の距離の公式を用いて三角形の種類(二等辺三角形,直角三角形など)を求めるためには, 1 まず,三辺(AB,BC,CAなど)の長さを求めます.
(単に「二等辺三角形」と答えると,BC=CAの場合やCA=ABの場合があるので,どの2辺が等しいかを「AB=BCの」という形で明示することが大切です.)(2) 「AB=BC=CA」 ならば 「正三角形」などと答えます. (3) 「AB2+BC2=CA2」 ならば 「B=90゜の直角三角形」などと答えます.
(単に「直角三角形」と答えるのでなく,どの角が直角かも明示することが大切です.)
(4) 「AB2+BC2=CA2」かつ「AB=BC」 ならば 「AB=BCの直角二等辺三角形」などと答えます. (「直角」というのは角度の性質なので,距離の公式だけから直角を調べるには「ピタゴラスの定理」が成り立つかどうかで判断します.すなわち,「ピタゴラスの定理が成り立つ」→「直角三角形」,「ピタゴラスの定理が成り立たない」→「直角三角形でない」. ただし,この関係は三辺の長さを見ただけで分かるとは限りませんので,AB2+BC2=CA2などを「試してみる」しかありません. 例 √7,√8,√15なら(7+8=15だから)直角三角形です.√2,√3,√6なら(2+3<6だから)直角三角形ではありません.) |
《問題》 次の3点を頂点とする△ABCがどんな三角形か答えなさい. |
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(1) A(1,1),B(2,−1),C(4,0) |
AB=BCの二等辺三角形
BC=CAの二等辺三角形 CA=ABの二等辺三角形 正三角形 A=90゜の直角三角形 B=90゜の直角三角形 C=90゜の直角三角形 A=90゜の直角二等辺三角形 B=90゜の直角二等辺三角形 C=90゜の直角二等辺三角形 |
だから右図のようになる. ここで だから二等辺三角形で,だから直角三角形. ⇒∠B=90°の直角二等辺三角形 |
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(2) A(2,5),B(−1,3),C(0,2) |
AB=BCの二等辺三角形
BC=CAの二等辺三角形 CA=ABの二等辺三角形 正三角形 A=90゜の直角三角形 B=90゜の直角三角形 C=90゜の直角三角形 A=90゜の直角二等辺三角形 B=90゜の直角二等辺三角形 C=90゜の直角二等辺三角形 |
だから右図のようになる. ここで だから ⇒AB=CAの二等辺三角形 |
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(3) A(−1,−1),B(0,−4),C(6,−2) |
AB=BCの二等辺三角形
BC=CAの二等辺三角形 CA=ABの二等辺三角形 正三角形 A=90゜の直角三角形 B=90゜の直角三角形 C=90゜の直角三角形 A=90゜の直角二等辺三角形 B=90゜の直角二等辺三角形 C=90゜の直角二等辺三角形 |
だから右図のようになる. ここで だから ⇒∠B=90°の直角三角形 |
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(4) A(0,0),B(2,0),C(1,) |
AB=BCの二等辺三角形
BC=CAの二等辺三角形 CA=ABの二等辺三角形 正三角形 A=90゜の直角三角形 B=90゜の直角三角形 C=90゜の直角三角形 A=90゜の直角二等辺三角形 B=90゜の直角二等辺三角形 C=90゜の直角二等辺三角形 |
だから右図のようになる. ここで だから正三角形 |
※この頁では,2点間の距離の公式を使って,各頂点間の距離を「計算によって求める」能力を身に付けてもらうことを目標としていますが,この頁に登場したような問題は,xy平面上に図示すればそこそこ見当がつきます.
【各自で練習用の類題】もし,自分の答や作者の答が「おかしいな」と思った場合には,「図示」すれば分かります. 次の3点を頂点とする△ABCがどんな三角形か答えなさい.
(1) A(1,−1),B(3,2),C(0,0)
(解答)⇒AB=BCの二等辺三角形
(2) A(5,4),B(−1,2),C(1,0)
(解答)⇒だから∠B=90°の直角三角形
(3) A(1,−2),B(4,0),C(−1,1)
(解答)⇒だから∠A=90°の直角二等辺三角形
(4) A(1,1),B(1,3),C(,2)
(解答)⇒だから正三角形 |
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