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== 三角形の形状 ==
《解説》
 2点間の距離の公式を用いて三角形の種類(二等辺三角形,直角三角形など)を求めるためには,

1 まず,三辺(AB,BC,CAなど)の長さを求めます.
2 次に,
 (1) 「AB=BC」 ならば 「AB=BCの二等辺三角形」などと答えます.

(単に「二等辺三角形」と答えると,BC=CAの場合やCA=ABの場合があるので,どの2辺が等しいかを「AB=BCの」という形で明示することが大切です.)
 (2) 「AB=BC=CA」 ならば 「正三角形」などと答えます.
 (3) 「AB2+BC2=CA2」 ならば 「B=90゜の直角三角形」などと答えます.
(単に「直角三角形」と答えるのでなく,どの角が直角かも明示することが大切です.)
(「直角」というのは角度の性質なので,距離の公式だけから直角を調べるには「ピタゴラスの定理」が成り立つかどうかで判断します.すなわち,「ピタゴラスの定理が成り立つ」→「直角三角形」,「ピタゴラスの定理が成り立たない」→「直角三角形でない」.
ただし,この関係は三辺の長さを見ただけで分かるとは限りませんので,AB2+BC2=CA2などを「試してみる」しかありません.
例 √7,√8,√15なら(7+8=15だから)直角三角形です.√2,√3,√6なら(2+3<6だから)直角三角形ではありません.)
 (4) 「AB2+BC2=CA2」かつ「AB=BC」 ならば 「AB=BCの直角二等辺三角形」などと答えます. 



《問題》 次の3点を頂点とする△ABCがどんな三角形か答えなさい.
(1)
A(1,1),B(2,−1),C(4,0)
AB=BCの二等辺三角形 

BC=CAの二等辺三角形 

CA=ABの二等辺三角形 

正三角形 

A=90゜の直角三角形 

B=90゜の直角三角形 

C=90゜の直角三角形 

A=90゜の直角二等辺三角形 

B=90゜の直角二等辺三角形 

C=90゜の直角二等辺三角形

(2)
A(2,5),B(−1,3),C(0,2)
AB=BCの二等辺三角形 

BC=CAの二等辺三角形 

CA=ABの二等辺三角形 

正三角形 

A=90゜の直角三角形 

B=90゜の直角三角形 

C=90゜の直角三角形 

A=90゜の直角二等辺三角形 

B=90゜の直角二等辺三角形 

C=90゜の直角二等辺三角形

(3)
A(−1,−1),B(0,−4),C(6,−2)
AB=BCの二等辺三角形 

BC=CAの二等辺三角形 

CA=ABの二等辺三角形 

正三角形 

A=90゜の直角三角形 

B=90゜の直角三角形 

C=90゜の直角三角形 

A=90゜の直角二等辺三角形 

B=90゜の直角二等辺三角形 

C=90゜の直角二等辺三角形

(4)
A(0,0),B(2,0),C(1,)
AB=BCの二等辺三角形 

BC=CAの二等辺三角形 

CA=ABの二等辺三角形 

正三角形 

A=90゜の直角三角形 

B=90゜の直角三角形 

C=90゜の直角三角形 

A=90゜の直角二等辺三角形 

B=90゜の直角二等辺三角形 

C=90゜の直角二等辺三角形



※この頁では,2点間の距離の公式を使って,各頂点間の距離を「計算によって求める」能力を身に付けてもらうことを目標としていますが,この頁に登場したような問題は,xy平面上に図示すればそこそこ見当がつきます.
 もし,自分の答や作者の答が「おかしいな」と思った場合には,「図示」すれば分かります.
【各自で練習用の類題】
次の3点を頂点とする△ABCがどんな三角形か答えなさい.
(1) A(1,−1),B(3,2),C(0,0)
(解答)



AB=BCの二等辺三角形

(2) A(5,4),B(−1,2),C(1,0)
(解答)



だから∠B=90°の直角三角形

(3) A(1,−2),B(4,0),C(−1,1)
(解答)



だから∠A=90°の直角二等辺三角形

(4) A(1,1),B(1,3),C(,2)
(解答)



だから正三角形


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