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== 剰余の定理 ==
【基本の確認】
≪剰余の定理≫
多項式P(x)x−αで割ったときの余りはP(α)に等しい.
「剰余の定理」や「割り算の原理(商と余りの関係)」に関して
=== よく練習するもの ===
【例1】
P(x)=x2+2x−1で割ったときの余りは
P(1)=12+2=3に等しい.
【例2】
P(x)=x2+2x+2で割ったときの余りは
P(−2)=(−2)2+2=6に等しい.
次のように「割り算」を実行すれば「商も余りも求まる」が,「剰余の定理」では割り算をしなくても「余りが求まる代わりに商は求まらない」
=== はっきりとは書いてなくても前提となっていること ===
(1) 多項式をn次式で割ったときの余りはn−1次(以下の)多項式になる.
 多項式の割り算では,余りが割る式と同じ次数ではまだ計算の途中とみなす.余りは必ず割る式よりも次数が低くなっていなければならない

 だから,次の割り算のように「係数が分数になっても」余りの次数を下げなければならない.

 右の例では,整数係数の多項式を整数係数の多項式で割ったときに,商も余りも有理数(分数)の係数になっている.
(2) 整数係数の多項式を整数係数の多項式で割ったときの商と余りは,整数になるとは限らない.一般には有理数(分数)になる.
上記の(1)の例の通り
 同様にして,「割る式,割られる式の係数の範囲」と「商と余りの係数の範囲」は次のように対応する.
割る式,割られる式の係数商と余りの係数
(A) 整数有理数
(B) 有理数有理数
(C) 実数実数
(A)の整数係数の多項式割り算で商や余りが有理数になる例は上記(1)の例の通りであるが,
一般に割り算の係数の計算は和差積商の四則計算で行われるため,
整数÷整数は整数になるとは限らず,有理数になることがある.
しかし,四則計算では根号は登場しないから,整数係数の割り算で無理数や虚数の係数が登場することはない.
(B)の場合,有理数は和差積商について閉じている(有理数の和差積商は有理数)であるから,有理係数多項式の割り算では商も余りも有理係数になる.
(C)でも,実数は和差積商について閉じているから,実係数多項式の割り算で虚数係数の商や余りが登場することはない.
(3) 剰余の定理でαが整数でなければならないとは書いてない.一般にαは有理数でも無理数でも虚数でもよい.
【例3】
P(x)=x2+x+2で割ったときの余りは
に等しい.
【例4】
P(x)=x2+x+2で割ったときの余りをRとおくと
と書けるから

【例3】は

となることを表しており
【例4】は

となることを表している.
したがって,これらで割ったとき,余りは等しいが商は2倍になっている.

高校の教科書ではあまり登場しないが,αが無理数や虚数の場合でも使ってよい.
【例題1】
整数係数の多項式f(x)x4−4で割ると余りがx3−3になる.
このときf(x)x2−2で割ったときの余りを求めよ.
(解説)
整数係数の多項式を整数係数の多項式で割っているのだから,余りは一般に有理係数多項式になる.
そこでf(x)x2−2で割ったときの余りをax+b(ただしa,bは有理数)とおける.
仮定より
f(x)=(x2−2)(x2+2)S(x)+x3−3
とおけるから
…(1)
また
f(x)=(x2−2)T(x)+ax+ba,bは有理数)
とおくと
…(2)
(1)(2)より

a,bは有理数だから,係数を比較して
a=2, b=−3
余りは2x−3…(答)
※割り算実行で行うときは次のような答案になる.
f(x)=(x2−2)(x2+2)S(x)+x3−3
x2−2で割ったとき,(x2−2)(x2+2)S(x)の部分は割り切れるから,余りはx3−3を割った部分から出てくる.
右図のように割り算を実行すれば,余りは
2x−3…(答)
(※高校生向けに平易に解説するには,この答案の方がよいでしょう.上の答案は無理数を代入しても同じ結果が得られるということの例として示した)

【例題2】
整数係数の多項式f(x)x−1で割ると割り切れ,x2+x+1で割ると−x−2余るとき,f(x)x3−1で割ったときの余りを求めよ.
(解説)
整数係数の多項式を整数係数の多項式で割っているのだから,余りは一般に有理係数多項式になる.
そこでf(x)x3−1で割った余りをax2+bx+c(ただしa,b,cは有理数)とおける.
f(x)=(x3−1)S(x)+ax2+bx+c
仮定よりf(1)=0だから
a+b+c=0…(1)

また仮定より
f(x)=(x2+x+1)T(x)−x−2
とおけるから
x2+x+1=0の1つの解をとおくと

ω2+ω+1=0
ω3=1
f(ω)=aω2+bω+c=−ω−2
f(ω)=a(−ω−1)+bω+c=−ω−2
ω(−a+b+1)+(−a+c+2)=0
ωは虚数だから
−a+b+1=0…(2)
−a+c+2…(3)
(1)(2)(3)より
a=1, b=0,c=−1
余りはx2−1…(答)
※割り算実行で行うときは次のような答案になる.
仮定よりf(1)=0だから
a+b+c=0…(1)
f(x)=(x3−1)S(x)+ax2+bx+cx2+x+1で割ったとき,(x3−1)S(x)の部分は割り切れるから,余りはax2+x+1を割った部分から出てくる.
右図のように割り算を実行すれば,余りは
(b−a)x+(c−a)
したがって
b−a=−1…(2)
c−a=−2…(3)

(1)(2)(3)より
a=1, b=0,c=−1
余りはx2−1…(答)

【類題1】
整数係数の多項式f(x)x4+x2+1で割るとx3+1余るとき,f(x)x2+x+1で割った余りを求めよ.
(筆者作成)
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【類題2】
整数係数の多項式f(x)x2+x+1で割るとx+1余り,x2−x+1で割るとx−1余るとき,f(x)x4+x2+1で割った余りを求めよ.
(筆者作成)
参考答案を見る


【入試問題】
(1) が無理数であることを証明せよ.
(2) P(x)は有理数を係数とするxの多項式で,を満たしているとする.このときP(x)x3−2で割り切れることを証明せよ.
(京大2012年理系)
(解説)
(1) が無理数であることの証明は教科書にも出ている基本なので,それを思い出しながら証明すればよい.
 その証明のポイントは
は整数で互いに素)と仮定すると,「とも2の倍数となる」という形で矛盾を示すところにある.
(1) 背理法によって示す.
が有理数であると仮定すると
m, nは整数で互いに素)と書けるはずである.
辺々を3乗すると

…(A)
省略可能だと思われるが,ていねいに書いてもよい.
m=2k+1kは整数)ならば,
m3=2(4k3+6k2+3k)+1となって,m3が2の倍数にならないからである

左辺は2の倍数であるからは2の倍数でなければならない.
そこで,
m=2kkは整数)…(B)
とおく
(A)に代入


右辺は2の倍数であるからは2の倍数でなければならない.
そこで,
n=2llは整数)…(C)
とおく
(B)(C)はm, nは整数で互いに素という仮定に反するから矛盾
よって,は無理数

(2)
有理係数の多項式を有理係数の多項式で割ると,商と余りは有理係数の多項式になるから


a,b,cは有理数)
とおける.
仮定より,だから
…(D)
このとき,a=b=c=0となることを背理法によって示す.
ア) a≠0のとき
(D)より


このようにと有理係数を用いて表されると矛盾を生じることを以下に示す.

は有理数)とおくと
両辺にを掛けると



左辺は無理数で右辺は有理数だから矛盾
以上により,a=0が示された.
これを(D)に代入すると
…(E)
イ) b≠0のとき矛盾を生ずることを示す.
(E)より

左辺は無理数,右辺は有理数だから矛盾
以上により,b=0が示された.
これを(E)に代入すると,c=0
以上により,a=b=c=0
したがって,P(x)x3−2で割り切れる。■証明終わり■

【類題3】
 P(x)を整数係数の3次式とし,1の虚数3乗根の1つをωとする.
 P(ω)=0となることは,P(x)x−1で割ったときの余りが3の倍数となるための何条件になるか.理由をつけて述べよ.
(筆者作成)
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【入試問題】
nを自然数とし,整式xnを整式x2−2x−1で割った余りをax+bとする.このときabは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ.
(京大2013年理系)
(解説)
 一般にnの値ごとに商と余りは異なるので,これらをQn(x), anx+bnとおく.
 以下,数学的帰納法によって示す.
(T) n=1のとき
x1を整式x2−2x−1で割った余りはxだから
a1=1, b1=0
これらは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない.
(U) n=k (k≧1)のとき,ak, bkは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないと仮定すると
xk=(x2−2x−1)Qk(x)+akx+bk
ak, bkは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない)とおける
両辺にxを掛けると
xk+1=x(x2−2x−1)Qk(x)+akx2+bkx
この式をx2−2x−1で割ったとき第1項は割り切れるから,余りは残りの項を割ったものになる.
ak
x2−2x−1 ) akx2+bkx
akx2−2akx−ak
(2ak+bk)x+ak
したがって
ak+1=2ak+bk
bk+1=ak

このとき,ak, bkは整数であるから,ak+1, bk+1も整数になる.
もし,ak+1, bk+1をともに割り切る素数pが存在すれば
ak+1=2ak+bk=A1p
bk+1=ak=B1p

となり
ak=B1p
bk=A1p−2B1p=(A1−2B1)p

となって,ak, bkをともに割り切る素数は存在しないという仮定に反する.
したがって,ak+1, bk+1をともに割り切る素数は存在しない.

(T)(U)から,数学的帰納法により示された.

【類題4.1】
nを自然数とし,整式xnを整式x2+2x+3で割った余りをax+bとする.このときabは整数であり,aを3で割った余りは1になり,bは3で割り切れることを示せ.
ただし,負の整数−Mを正の整数mで割ったときの商を整数−q,余りを整数rとするとき,r
−M=m(−q)+r (0≦r<m)
を満たす0以上の整数rによって定義するものとする.
(筆者作成)
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【類題4.2】
nを自然数とし,整式xnを整式x2+x+1で割った余りをax+bとする.このときabは整数であり,a2−ab+b2=1が成り立つことを示せ.
(筆者作成)
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