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=== 複素数平面の入試問題(三角形の形状問題)===
【要点】
3点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCが正三角形であるための条件は

(解説)
2つの複素数の商(割り算)を極形式で書くと


これによりからへ移るときの「辺の長さの比」と「回転角」が分かる.


二等辺三角形でかつ頂角が60°なら,残り2つの角も60°になるので,正三角形になる
…(*)
のとき,辺の長さの比は
…(1)
偏角の差は
∠BAC=±60°…(2)
になるから,△ABCは正三角形になる.
A→B→Cは,偏角が+60°のとき左回りに並び,−60°のとき右回りに並ぶ)
逆に,△ABCが正三角形のとき,(*)が成り立つといえる.
引用元の問題は記述式の問題ですが,以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため,選択問題に変えています.
まぐれ当たりでは力が付きませんので,計算用紙を使って,よく考えてから選択肢の内の1つをクリックしてください.解答すれば解説が出ます.
なお,答案はこの教材の筆者が作成したものです.間違い等がありましたらお知らせください.
【問題1】 正三角形の頂点を表す複素数を求める問題
(1) (やさしい)
 zを複素数とする.複素数平面上の3点z, z2, z3を頂点とする三角形が正三角形となるzをすべて求めよ.
(日本女子大2005年度)
(2)
複素数平面上で,3点A(4z), B(3z+2), C(z3)を頂点とする△ABCが正三角形となるような複素数zをすべて求めよ.
(福島県立医科大2016年度)

【要点】
3点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて

のとき

∠BAC=θ
(解説)
2つの複素数の商(割り算)を極形式で書くと


これによりからへ移るときの「辺の長さの比」と「回転角」が分かる.

【問題2】 三角形の辺の比などを求める問題
引用元の問題は記述式の問題ですが,以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため,選択問題に変えています.
まぐれ当たりでは力が付きませんので,計算用紙を使って,よく考えてから選択肢の内の1つをクリックしてください.解答すれば解説が出ます.
なお,答案はこの教材の筆者が作成したものです.間違い等がありましたらお知らせください.
(1)
 α, βを等式2−18αβ+25β2=0を満たす0でない複素数とする.このとき複素平面上で3点0, α, βを頂点とする三角形の3辺の長さの比を求めよ.
(東京女子大2005年度)
(2)
 複素数α, βは,α2−2αβ+4β2=0, |α−2β|=4の関係を満たす.複素数平面上に,O(原点),A(α), B(β)の3点をとる.三角形AOB∠AOBの値を求めよ.また,三角形AOBの面積の値を求めよ.
(岐阜薬科大2005年度)
∠AOB
△AOBの面積)
(3)
 原点をOとする複素数平面上において,複素数α, βの表す点をそれぞれA, Bとする.α, βが条件

を満たすとき,次の問いに答えよ.ただし,iは虚数単位である.
(1) |β|の値を求めよ.
(2) 2(1+i)およびの偏角をそれぞれ−180°より大きく180°以下の範囲で求めよ.
(3) △ABCの面積を求めよ.
(静岡大2005年度)
(1) |β|
(2) 2(1+i)の偏角
(2) (の偏角)
(3) (△ABCの面積)
(4) (3)とよく似ているが少し違う.誘導はより明確.
 原点をOとする複素数平面上において,複素数α, βの表す点をそれぞれA, Bとする.α, βが次の2つの式を満たすとき,次の各問いに答えよ.ただし,iは虚数単位とする.

(1) |β|の値を求めよ.
(2) の偏角をθ0≦θ≦π)とするとき,sinθの値を求めよ.
(3) △ABCの面積を求めよ.
(芝浦工大2016年度)
(1) |β|
(2) (sinθの値)
(3) (△ABCの面積)

≪目が覚める1題≫
4つの複素数z1, z2, z3, z4は互いに異なり,その絶対値はすべて1であるとする.
(1) 略
(2) z1+z2+z3=0が成り立つとき,z1, z2, z3を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ.
(3) z1+z2+z3+z4=0が成り立つとき,z1, z2, z3, z4を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ.
(お茶の水女子大2016年度)
(2) 参考答案を見る
(3) 参考答案を見る
*** この話は一般化できるものかどうか興味を引く問題である.5つの場合,6つの場合を検討してみよう ***

(4) 互いに異なる5つの複素数が|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=|z5|=1
z1+z2+z3+z4+z5=0
を満たすとき,この五角形は正五角形といえるか?
(5) 互いに異なる6つの複素数が|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=|z5|=|z6|=1
z1+z2+z3+z4+z5+z6=0
を満たすとき,この六角形は正六角形といえるか?
(4) 参考答案を見る
(5) 参考答案を見る
(2)(3)(4)(5) そもそもの話

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