■同時確率分布と周辺分布→ 携帯版は別頁
■記号と用語
 右図1のような「普通のさいころ」1個と,6の目を1の目に書き換えてTの目が2つあるように「細工をしたさいころ」1個の合計2個のさいころを投げて,出た目の数を各々X, Yとします.このとき,X, Yの出方に応じて確率を考えるには,右の表1のようにX, Yの確率分布を同時に考えます.
 このように,2つの確率変数の分布を同時に考えたものを同時確率分布(または同時分布結合確率分布)といいます.
(細工がしてある方のさいころは,1の目が2倍出て,6の目が出ないので,Yの分布は通常のさいころとは異なっています.)

 同時確率分布においては,X, Yのすべての値の組に対して確率を考えます.例えば,表1において桃色の背景色で示したものは,
X=2, Y=1となる確率がであること
すなわち
P(X=2, Y=1)=
となることを表しています.

 水色の背景色で示した数字は,周辺分布と呼ばれ,例えばX=1の右端にある欄は,X=1Yがすべての値をとるときの確率の合計になっています.このようにして,右の欄はYの値が何であるかを問わずにXの値だけを指定したときの確率を表しています.
 これに対して,下端の水色の背景色で示した数字は,Xの値が何であるかを問わずにYの値だけを指定したときの確率を表しています.

 一般に,同時確率分布および周辺分布は,次の表3のような表で表され,
 P(X=xi , Y=yj )=pijは同時確率分布を表し,
P(X=xi )=pXの周辺分布を
P(Y=yj )=p·jYの周辺分布を表しています.
 周辺分布は,p , p·jのように,ドットを付けて表し,
例えば
P(X=x1 )=p11+p12+…+p1n=p
P(Y=y1 )=p11+p21+…+pm1=p·1
などとなります.
表3
XY y1 y1 yn P(X)
x1 p11 p12 p1n p
x2 p21 p22 p2n p
xm pm1 pm2 pmn p
P(Y) p·1 p·2 p·n 1
 この場合,X, Yの期待値は各々
E(X)=x1 p+x2 p+…+xm p
E(Y)=y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n
と表されることになります.
図1
表1
XY 1 2 3 4 5 P(X)
1
2
3
4
5
6
P(Y) 1


表2
X+Y 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
 次の表で与えられる同時確率分布について,以下の問題1〜6に答えてください.
XY 1 2 3 P(X)
1 0.4 0.1 p13 0.6
2 p21 p22 p23 p
P(Y) 0.5 p·2 0.2 1
(表の見方に慣れるための問題)
【問題1】
 表中の同時確率p13 , p21 , p22 , p23および周辺確率p , p·2の値を求めてください.

1 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.1 , p23=0.2
p=0.4 , p·2=0.3
2 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.2 , p23=0.1
p=0.4 , p·2=0.3
3 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.1 , p23=0.2
p=0.3 , p·2=0.4
4 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.2 , p23=0.1
p=0.3 , p·2=0.4


【問題2】
 確率変数Xの期待値E(X)を求めてください.

1 1.2 2 1.3 3 1.4 4 1.5



【問題3】
 確率変数Yの分散V(Y)を求めてください.

1 0.47 2 0.61 3 1.8 4 3.5




X+Yの期待値E(X+Y)
 表1のような同時確率分布と表2のようなX+Yの値が与えられたときに,X+Yの期待値を求めるためには,すべてのi , jに対して,(xi+yj )pijを求めて,足すことになります.
 具体的には
E(X+Y)=2×+3×+…+6×
+3×+4×+…+7×
+……
+7×+8×+…+11×
=
となります.

 このような計算は,非常に込み入っていて大変なので,もっと簡単に計算する方法として,次の公式が利用できます.
 X, Yが独立であるかどうかに関係なく,つねに
E(X+Y)=E(X)+E(Y)…(1)
が成り立つ.
【例】
 上の表1,表2で与えられる確率変数X, Yについては
E(X)=1×+2×+…+6×==
E(Y)=1×+2×+…+5×==
だから
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=+=
で求めることができます.
(1)の証明
E(X+Y)
=(x1+y1)p11+(x1+y2)p12+(x1+y3)p13+…+(x1+yn)p1n
+(x2+y1)p21+(x2+y2)p22+(x2+y3)p23+…+(x2+yn)p2n
+…………
+(xm+y1)pm1+(xm+y2)pm2+(xm+y3)pm3…+(xm+yn)pmn
=x1(p11+p12+p13+…+p1n)
+x2(p21+p22+p23+…+p2n)
+…………
+xm(pm1+pm2+pm3+…+pmn)
+y1(p11+p21+p31+…+pm1)
+y2(p12+p22+p32+…+pm2)
+…………
+yn(p1n+p2n+p3n+…+pmn)
=x1p+x2p+……+xmp+y1p·1+y2p·2+……+ynp·n
=E(X)+E(Y)



 さらに,一般に次の関係が成り立ちます.
 a, bが定数であるとき,X, Yが独立であるかどうかに関係なく,つねに
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)…(2)
 X, Y, Zが独立であるかどうかに関係なく,つねに
E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)…(3)
【例題1】
 大中小3個のさいころを同時に投げるとき,出た目の和の期待値を求めてください.
さいころ2個までなら一覧表を作って調べることができますが、3個になると場合分けが多過ぎて大変です.そこで,3つの変数の和の期待値の定理を利用して求めます.
 大中小のさいころの出た目を各々X, Y, Zとおくと,
X123456
P1
E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×
=(1+2+3+4+5+6)==
Y, Zについても同様に
E(Y)=E(Z)=
となるから
E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=×3=…(答)
 正しい番号を選択してください.
【問題4】
 確率変数Xの期待値が3Yの期待値が2のとき,2X+Yの期待値を求めてください.

15 26 37 48



【問題5】
 3枚の10円硬貨を同時に投げるとき,表が出る枚数の期待値を求めてください.

11.0 21.5 32.0 42.5



【問題6】
 100円硬貨と500円硬貨を1枚ずつ合計2枚同時に投げて,表を向いた硬貨をもらえることにするとき,もらえる金額の期待値を求めてください.

1300240035004600




【要点】
[和差の期待値]
 X, Yが独立であるかどうかに関係なく,つねに
E(X+Y)=E(X)+E(Y)…(1)再掲
E(XY)=E(X)E(Y)…(1’)
[積の期待値]
 X, Yが独立であるとき
E(XY)=E(X)E(Y)…(4)
[和差の分散]
 X, Yが独立であるとき
V(X+Y)=V(X)+V(Y)…(5)
すなわち
σ2x2y2…(6)

ただしV(XY)=V(X)+V(Y)に注意
(解説)
(1’)←
(2)式のE(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)において,a=1, b=−1とおくと
E(XY)=E(X)E(Y)
(4)←
≪2つの確率変数X, Yの独立の定義≫
 すべてのi, jについて
P(X=xi , Y=yj )=P(X=xi )P(Y=yj )
が成り立つとき,すなわち
pij=pp·j
が成り立つとき,確率変数X, Yは独立であるという.
 上の定義により,X, Yが独立であるとき,同時確率分布および周辺分布は次のようになります.
※ 独立 ⇔ 各々の同時確率が周辺確率の積になる
表4
XY y1 y2 yn P(X)
x1 p p·1 p p·2 p p·n p
x2 p p·1 p p·2 p p·n p
xm p p·1 p p·2 p p·n p
P(Y) p·1 p·2 p·n 1
E(XY)
=x1 y1 p p·1+x1 y2 p p·2+…+x1 yn p p·n
+x2 y1 p p·1+x2 y2 p p·2+…+x2 yn p p·n
+…………
+xm y1 p p·1+xm y2 p p·2+…+xm yn pp·n
=x1 p (y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n )
+x2 p (y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n )
+…………
+xm p (y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n )
=(x1 p+x2 p++…+xm p )(y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n )
=E(X)E(Y)

【例】
 次の表のように,どの列(縦の並び)についても比率が同じで,どの行(横の並び)についても比率が同じになるときに,独立であるといえます.
XY y1 y2 y3 P(X)
x1
x2
P(Y) 1
 横の並びが同じ比率⇒Xに関係なくYの比率が同じ:YXから独立
 縦の並びが同じ比率⇒Yに関係なくXの比率が同じ:XYから独立
(5)←
V(X)=E(X 2)−E(X)2の公式により
V(X+Y)=E((X+Y)2)−E(X+Y)2
ここで(1)により
E((X+Y)2)=E(X 2+2XY+Y 2)
=E(X 2)+2E(XY)+E(Y 2)
はつねに成立します.
また(1)により
E(X+Y)2=E(X+Y)E(X+Y)=(E(X)+E(Y))2
=E(X)2+2E(X)E(Y)+E(Y)2
もつねに成立します.
したがって
V(X+Y)=E(X 2)−E(X)2
+E(Y 2)−E(Y)2
+2E(XY)−2E(X)E(Y)
=V(X)+V(Y)
+2E(XY)−2E(X)E(Y)
X, Yが独立であるときは,E(XY)=E(X)E(Y)だから
V(X+Y)=V(X)+V(Y)
が成り立ちます.
V(XY) = V(X)V(Y)ではないことに注意

(5)式は,分散の代わりに標準偏差で表すと
V(X+Y)=σ2
V(X)=σx2
V(Y)=σy2
のときに,三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成り立つことを示しています.
σ2x2y2
☆独立とは無関係,無相関,直角ということ☆

  次の同時確率分布で与えられる確率変数X, Yが独立であるとき,以下の問題7〜9に答えてください.
XY y1 y2 y3 P(X)
x1 p11 p12 p13 0.7
x2 p21 p22 p23 p
P(Y) 0.6 0.3 p·3 1
【問題7】
 周辺確率p·3すなわちP(Y=y3)を求めてください.

1 0.1 2 0.2 3 0.3 4 0.4



【問題8】
 同時確率p11すなわちP(X=x1 , Y=y1 )を求めてください.

1 0.24 2 0.30 3 0.36 4 0.42



【問題9】
 同時確率p23すなわちP(X=x2 , Y=y3 )を求めてください.

1 0.01 2 0.03 3 0.1 4 0.3



【問題10】
 右図のような「普通のさいころ」1個と,6の目を1の目に書き換えてTの目が2つあるように「細工をしたさいころ」1個の合計2個のさいころを投げて,出た目の数を各々X, Yとします.このとき,出た目の積XYの期待値を求めてください. 

1 2 7 3 4




XY 1 2 3 4 5 P(X)
1
2
3
4
5
6
P(Y) 1
 独立な確率変数X, Yの期待値および標準偏差が次の表のように与えられているとき,以下の問題11〜14に答えてください.

期待値標準偏差
XmX=3σX=1
YmY=7σY=2
 なお,次の公式も使うとよい.
V(X)=σX2
V(aX)=a2V(X)
V(X)=E(X 2)−E(X)2

【問題11】
 確率変数X, Yの積XYの期待値を求めてください.

1 2 2 3 3 14 4 21



【問題12】
 X 2の期待値を求めてください.

1 6 2 9 3 10 4 16



【問題13】
 確率変数2Yの分散を求めてください.

1 2 2 4 3 8 4 16



【問題14】
 確率変数X+Yの分散を求めてください.

1 3 2 5 3 7 4 9



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