２次関数のグラフ（入試問題）

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== ２次曲線 ==
難易度の目安

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

【２次関数のグラフの平行移動】
$y=ax^2\hspace{5}(a\ne 0)$ ･･･(0)
のグラフをx軸の正の向きにp，y軸の正の向きにqだけ平行移動してできるグラフの方程式は
$y=a(x-p)^2+ q$ ･･･①
である．

　教科書では，上記の平行移動に関する公式(0)→①が基本として書かれているが，以下に述べる対称移動，点対称移動，平行移動に関するものは，図を描いて見れば分かることなので，公式として覚えなくても，結果は書けるようにしておくとよい．
①→②

　 $y=a(x-p)^2+ q$ をx軸に関して対称移動すると， $y=-a(x-p)^2-q$

• 凹凸は逆になる：a→−a
• 頂点のy座標は，符号が逆になる：q→−q

①→③

　 $y=a(x-p)^2+ q$ をy軸に関して対称移動すると， $y=a(x+ p)^2+ q$

• 凹凸は変わらない
• 頂点のx座標は，符号が逆になる：p→−p

【例題】★☆☆

　２次関数 $y=\frac{1}{3}x^2-6x+ 35$ のグラフは，放物線 $y=\frac{1}{3}x^2$ をx軸方向にカ，y軸方向にキだけ平行移動した放物線である．

（2016年度千葉工業大）

（解答）

【３点を通る２次関数の方程式】
　与えられた３点 $(x_1,\hspace{2}y_1),\hspace{2}(x_2,\hspace{2}y_2),\hspace{2}(x_3,\hspace{2}y_3)$ を通る２次関数の方程式を求めるには，求めるべき方程式を
$y=ax^2+ bx+ c$
とおいて，上記の点の座標を代入して，連立方程式を解けばよい．（ただし， $x_1,\hspace{2},x_2,\hspace{2}x_3$ は互いに異なるものとする）

【例題】★☆☆
　３点(−1, 2), (0, −1), (1, 0)を通る２次関数のグラフの頂点の座標はである．

（2000年度静岡理工科大）

（解答）
　求める２次関数の方程式を
$y=ax^2+ bx+ c$
とおくと，このグラフが３点(−1, 2), (0, −1), (1, 0)を通ることから，次の連立方程式が成り立つ．

2=a−b+c
−1=c
0=a+b+c
　この連立方程式を解くと，a=2,b=−1, c=−1
　２次関数の方程式は， $y=2x^2-x-1$ となるから，この式を変形して頂点の座標を求める
$y=2(x^2-\frac{x}{2})-1=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{9}{8}$

　頂点の座標は， $(\frac{1}{4},\hspace{2}-\frac{9}{8})$ ･･･(答)

【問題】★☆☆
　y軸に平行な軸を持ち,３点(−1, 4), (0, −1), (1, −4)を通る放物線の頂点の座標は(, )である．

（2000年度千葉工大）

（解答）
　求める２次関数の方程式を
$y=ax^2+ bx+ c$
とおくと，このグラフが３点(−1, 4), (0, −1), (1, −4)を通ることから，次の連立方程式が成り立つ．

4=a−b+c
−1=c
−4=a+b+c
　この連立方程式を解くと，a=1, b=−4, c=−1
　２次関数の方程式は， $y=x^2-4x-1$ となるから，この式を変形して頂点の座標を求める
$y=(x-2)^2-5$

　頂点の座標は， $(2,\hspace{2}-5)$ ･･･(答)

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