増減,極値,グラフ（数学Ⅱ/教科書レベル/楽しいワーク）

問題2　y=2x3−3x2+1の増減，極値を調べて，グラフを描いてください

• 導関数を求める

y'=6x2−6x
=6x(x−1)

• 増減表を書く

x	···	0	···	1	···
y'	+	0	−	0	+
y	$\nearrow$	1	$\searrow$	0	$\nearrow$

x<0, x>1で増加
0<x<1で減少
→解説を隠す←

• 極値を求める

x=0のとき，極大値1
x=1のとき，極小値0

• x軸，y軸との交点

y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい
　x=0のとき，y=0
x軸との交点は，3次方程式になるから，簡単に求まるときは，求めた方がよい（求まらないこともある）
　y=0のとき，2x3−3x2+1=0
因数定理を用いて因数分解する
f(x)=2x3−3x2+1とおくと，f(1)=0
f(x)はx−1で割り切れる（実は上の増減表を見れば，(x−1)2で割り切れることも分かる）
割り算すると，f(x)=(x−1)2(2x+1)
　 $x=-\frac{1}{2},\hspace{2}1$

• これらの点を滑らかに結んで，グラフを描く
（必ずとは言えないが，x=−1 → y=−4, x=2 → y=5も求めておくと，グラフが書きやすい）

問題3　y=x3−x2−x+2の増減，極値を調べて，グラフを描いてください

• 導関数を求める

y'=3x2−2x+1
=(3x+1)(x−1)

• 増減表を書く

x	···	$-\frac{1}{3}$	···	1	···
y'	+	0	−	0	+
y	$\nearrow$	$\frac{59}{27}$	$\searrow$	1	$\nearrow$

$x\lt -\frac{1}{3},\hspace{2}x\gt 1$ で増加
$-\frac{1}{3}\lt x\lt 1$ で減少
→解説を隠す←

• 極値を求める

$-\frac{1}{3}$ のとき，極大値 $\frac{59}{27}$
x=1のとき，極小値1

• x軸，y軸との交点

y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい
　x=0のとき，y=2
x軸との交点は，3次方程式になるから，簡単に求まるときは，求めた方がよい（求まらないこともある）
　この3次方程式は，簡単には因数分解できないから，x軸との交点は，求めないことにする

• これらの点を滑らかに結んで，グラフを描く
（必ずとは言えないが，x=−1 → y=1, x=2 → y=4も求めておくと，グラフが書きやすい）

問題4　y=−x3+3x2−2の増減，極値を調べて，グラフを描いてください

• 導関数を求める

y'=−3x2+6x
=−3x(x−2)

• 増減表を書く

x	···	0	···	2	···
y'	−	0	+	0	−
y	$\searrow$	−2	$\nearrow$	2	$\searrow$

0<x<2で増加
x<0, 2<xで減少
→解説を隠す←

• 極値を求める

x=2のとき，極大値2
x=0のとき，極小値−2

• x軸，y軸との交点

y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい
　増減表にある（x=0のとき，y=−2）
x軸との交点は，3次方程式になるから，簡単に求まるときは，求めた方がよい（求まらないこともある）
　y=0のとき，x3−3x2+2=0
因数定理を用いて因数分解する
f(x)=x3−3x2+2とおくと，f(1)=0
f(x)はx−1で割り切れる
割り算すると，f(x)=(x−1)(x2−2x−2)
　 $x=1,\hspace{2}1\pm\sqrt{3}$

問題5　y=x3の増減，極値を調べて，グラフを描いてください

• 導関数を求める

y'=3x2

• 増減表を書く

x	···	···
y'	+	+
y	$\nearrow$	$\nearrow$

全区間で増加･･･（※下の参考1,2を読んでください） →解説を隠す←

• 極値を求める

極値なし

増加から減少に「変化する」所を極大といい，減少から増加に「変化する」所を極小というので，増加から，中休み（y'=0）を経て再び増加になる場合は，増減の「変化はない」から極値ではない．

• x軸，y軸との交点

y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい
　増減表にある（x=0のとき，y=0）

［参考1］
　「増減を調べよ」という問題に対して，次のどちらの形で答えてもよい．（どちらかが正しくて，どちらかが間違っているのではない）

	開区間で答える書き方	閉区間で答える書き方（多数派）
問題1の答	x<−1, 1<xで増加 −1<x<1で減少	x≦−1, 1≦xで増加 −1≦x≦1で減少
問題2の答	x<0, 1<xで増加 0<x<1で減少	x≦0, 1≦xで増加 0≦x≦1で減少
数学Ⅱ 教科書の例	D社, T社	S社,K社,T社

• a<x<bのように端を含まない区間を開区間といい，
　a≦x≦bのように端を含む区間を閉区間という．
• 数学Ⅱの段階で，踏み込んだ解説が書かれている教科書はないが，結論から言えば「開区間で増加であるならば，端の点を含めた閉区間で増加」「開区間で減少であるならば，端の点を含めた閉区間で減少」であるということがいえる．
　その証明は，数学Ⅲで習う「平均値の定理」でできる．（数学Ⅱではそこまで踏み込まない）
• 教科書各社の「増加区間,減少区間」の書き方を数学ⅡⅢを通して見ると，「閉区間で書く答案が多数派」になっている．
• 上記の問題1～4の解答も，閉区間で書くことができる（その方が多数派）．

［参考2］
　「閉区間で書く答案」にすると，y=x3のグラフは，「x≦0, 0≦xで増加」すなわち「xの全区間で増加」と言えます．

　また，いつも弁当で見ている(?)，ご飯粒ごはんつぶの下の方の形（４次関数でf '(x)=0であるが，減少から減少への中休みになっている箇所）も含めて，右図の茶色で示した部分は減少区間です．

• 「閉区間で書く答案」では，『境目の値（極大値，極小値となるxの値）』は，こうもり軍団のようなもので，けもの軍団（減少区間）にも鳥軍団（増加区間）にも入っていて『ずるい!』と考える生徒が多いが，実際には極大値，極小値のところは『増加でもあり，減少でもある』ことになります．
　また，y=x3のグラフでは，「x≦0で増加」「0≦xで増加」，結局「全区間で増加」となります．

問題6　 $y=-\frac{x^3}{3}+ x^2-x$ の増減，極値を調べて，グラフを描いてください

• 導関数を求める

y'=−x2+2x−1
=−(x−1)2

• 増減表を書く

x	···	1	···
y'	−	0	−
y	$\searrow$	$-\frac{1}{3}$	$\searrow$

全区間で減少 →解説を隠す←

• 極値を求める

極値なし

前問と同様，減少から中休み（y'=0）を経て再び減少になる場合は，増減の「変化はない」から極値ではない．

• x軸，y軸との交点

y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい
　x=0のとき，y=0

問題7　 $y=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2$ の増減，極値を調べて，グラフを描いてください

• 導関数を求める

y'=x3−x2−2x
=(x+1)x(x−2)

• 増減表を書く

x	···	−1	···	···	2	···
y'	−	0	+	−	0	+
y	$\searrow$	$-\frac{5}{12}$	$\nearrow$	$\searrow$	$-\frac{8}{3}$	$\nearrow$

x≦−1, 0≦x≦2で減少
−1≦x≦0, 2≦xで増加
→解説を隠す←

• 極値を求める

x=−1で極小値 $-\frac{5}{12}$
x=0で極大値0
x=2で極小値 $-\frac{8}{3}$ →解説を隠す←

• x軸，y軸との交点

y軸との交点は，x=0を代入すれば求められるから，正確なグラフを描くために，求めた方がよい
　x=0のとき，y=0
x軸との交点は， $\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2=0$ より
　x2(3x2−x−3)=0より
　 $x=0,\hspace{3}\frac{4\pm 2\sqrt{10}}{3}$ ≒−1.44, 2.77