センタ−試験
確率／加法定理，期待値，乗法定理

《もとの問題１》
 

　Ａ，Ｂの二人が球の入った袋を持っている.Ａの袋には１，３，５，７，９の数字が一つずつ書かれた５個の球が入っており，Ｂの袋には２，４，６，８の数字が一つずつ書かれた４個の球が入っている.
(1)　ＡとＢが各自の袋から球を１個取り出し，書かれた数が大きい方の人を勝ちとする.このとき
Ａが勝つ確率は，Ｂが勝つ確率はである.
　勝ったときには自分が出した数を得点とし，負けたときには得点は0とする.このとき
Ａの得点の期待値は，Ｂの得点の期待値はである.
(2)　ＡとＢが２個ずつ球を取り出して，書かれている数の和を比べるとき，それらが等しくなる確率はである.
(「1997センター試験問題」からの引用)
《答える前に》
(1)　次の表の左の欄はＡの数，上の欄はＢの数とするとき，これらの組合せのうちＡが勝つ場合にをつけなさい．　
２ ４ ６ ８
１
３
５
７
９

 
 


もとの問題で，チ＝，ツ＝

 


　Ｂが勝つ場合にをつけなさい．
２ ４ ６ ８
１
３
５
７
９

 
 


もとの問題で，テ＝，ト＝

 



　Ａが次の表はＡの得点ｘ，その確率ｐ及びｘｐの表です.この表を埋めてＡの得点の期待値を求めなさい.
 
ｘ
0
3
5
7
9
計
ｐ





1
ｘｐ






.

 


同様にしてＢの得点の期待値を求めなさい.
 
ｘ
0
２
４
６
８
計
ｐ





1
ｘｐ






 


(2)　Ａから２個取り出したときの和は，４，６，８，・・・，１６となり，Ｂから２個取り出し出したときの和は６，８，・・，１４となるから，Ａ＝Ｂ＝６，Ａ＝Ｂ＝８，・・・，Ａ＝Ｂ＝14となる確率を求める:
 
Ａの和
１
３
５
７
９
１
／
／
／
／
／
３
４
／
／
／
／
５
６
８
／
／
／
７
８
10
12
／
／
９
10
12
14
16
／
Ｂの和
２
４
６
８
２
／
／
／
／
４
６
／
／
／
６
８
10
／
／
８
10
12
14
／
確率の計算：
Ａから２個取り出す方法は
5Ｃ2＝10通り.		 Ａから２個取り出す方法は
4Ｃ2＝６通り.		 確率の計算
  • そのうち和が６となるのは1通り.
  • そのうち和が６となるのは1通り.
 Ａ=６，Ｂ=6となる確率は
　
　
  • そのうち和が８となるのは２通り
  • そのうち和が８となるのは1通り.
 Ａ=８，Ｂ=８となる確率は
　
  • そのうち和が10となるのは２通り
  • そのうち和が10となるのは２通り.
 Ａ=10，Ｂ=10となる確率は
　
  • そのうち和が12となるのは２通り
  • そのうち和が12となるのは１通り.
 Ａ=12，Ｂ=12となる確率は
　
  • そのうち和が14となるのは１通り
  • そのうち和が14となるのは1通り.
 Ａ=14，Ｂ=14となる確率は
　
　
　

計
　　

 


《もとの問題2》
 
　Ａ，Ｂ二人のそれぞれがもつ袋には，次のように点数のついた玉が６個ずつ入っている.
Ａの袋：　６点の玉２個，３点の玉１個，０点の玉３個
Ｂの袋：　６点の玉１個，３点の玉３個，０点の玉２個
　Ａ，Ｂは，各自の袋から玉を１個取り出して元に戻す.このとき，取り出した玉の点数をその人の得点とする.これを２回行って合計得点について考える.
(1)　Ａの合計得点が６点になる確率はである.
(2)　Ａの合計得点の期待値はである.
(3)　Ａの合計得点とＢの合計得点がともに６点となる確率はである.
(4)　Ａの合計得点とＢの合計得点が等しくなる確率はである.
(「1998センター試験問題」からの引用)
《考え方の例》 《解答する》
(1)
　Ａが2回取り出したときの合計得点は，次の表のようになります.これにより，Ａの合計得点が６となる確率が求まります.
(1)
シ＝，ス＝，セ＝，ソ＝


(2)
　上の表により，Ａの合計得点ｘ＝０，３，６，９，１２となる確率ｐ及びｘｐは，各々次の表のようになります.
(2)
タ＝

(3)
　Ｂが2回取り出したときの合計得点は，次の表のようになります.上の(1)の表とこの表を組合せると，Ａの合計得点とＢの合計得点がともに６点となる確率が求まります.
(3)
チ＝，ツ＝，テ＝



 
(4)
　ＡとＢの合計得点が等しくなる場合を，各々乗法定理で求めて，集計します.
(4)
ト＝，ナ＝，ニ＝



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