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■筆算だけで解く問題

 自宅や学校で学習しているときは,教科書の巻末についている三角関数表を見ることもできますし,あればコンピュータも利用することができます.だから,普通の状況では,sin46°とかcos12°のような覚えていない角度の三角比の値でも自由に使える(ただし小数点以下第4位までの小数の値)ことになっています.
 これに対して数学の試験の場合には,特に許可されない限り数表やコンピュータ,携帯電話は持ち込めないのが普通です.このように,高校生が最もよくであう場面では,問題は「筆算だけ」で解かなければなりません.
 このように数学の試験のように「筆算だけで解かなければならない問題」ではsin75°,cos105°のような値は,覚えていないから使えないことになります.

 そこで,sin75°,cos105°などの値が必要になったら,別の角度を利用する方法を探します.
 このときに用いられるものには,「正弦定理」「余弦定理」の他,余弦定理で2次方程式を作る方法,第一余弦定理三角形の内角の和があります.
  • 余弦定理で(の)2次方程式を作る:
  • 2=c22−2c・cosB など
[第一余弦定理とは]
 次の図のように,Aから垂線をひくと,
a=bcosC+ccosB
が成り立つ.
 立場を順に入れ換えれば,
b=ccosA+acosC
c=acosB+bcosA
も示せます.
 これらを第一余弦定理といいます.
 この関係はB≧90°またはC≧90°の場合にも成立します.
 第一余弦定理は,1つの辺(a)の大きさを求めるために,辺の長さ2個,角の大きさ2個を必要とするため,余弦定理よりも「弱い」定理ですが,角Aの値が利用できないような場合に有効です.
 この関係を第一余弦定理,(通常用いる)余弦定理のことを第二余弦定理と呼ぶことがあります.

【判断のポイント】
○余弦定理や第1余弦定理で辺を求めるためには,他の辺が2つ分かっていなければなりません.
a2=b2+c2−2bc cos A
b2=c2+a2−2ca cos B
a=bcosC+ccosB
○辺の長さが1つしか分からないときに使えるのは正弦定理です.
.
.

【例】
 a=2,A=45°,C=75°のとき辺cの長さを求めなさい.
(第一印象)
 正弦定理

を利用すればcが求められるように思えますが,sin75°の値が使えません.

(考え方)
右図のように,
(1) 三角形の内角の総和が180°となることを使って,まずBを求めます.
(2) 次に正弦定理を使ってbを求めます.
(3) a, A, b, Bが分かると角Cの値を使わなくてもcが求められます.

(答案)
三角形の内角の和は180°だから
45°+B+75°=180°
B=60°
正弦定理により

だから



  第一余弦定理により

・・・(答)

(参考)
(別解1)
 B=60°,b=√6から角Aを用いた余弦定理から2次方程式を作ると,
 a2=b2+c2-2bc・cosA
 4=6+c2-2√6・1/√2
 c2-2√3+2=0
 解の公式から c=√3±1・・・(このままでは,いずれが答か,両方とも答なのか決まりません.)
 C>Aによりc>aとなるからc=√3+1・・・(答)


(別解2)
 B=60°,b=√6から角Bを用いた余弦定理から2次方程式を作ると,
 b22+a2−2a・cosB
 6=2+4-2・2・1/2
 2-2-2=0
 解の公式から c=1±√3
c>0によりc=1+√3・・・(答)
※(第二)余弦定理で2次方程式を作る方法は,有力な方法ですが,この方法を用いるときには,見かけの解が2つ登場する場合がありますので,上の例のように吟味して答を選ぶ必要があります.


《問題》 次の△ABCについて指定されたものを右から選びなさい.
【ルール】
左の問題を一つクリックし,続けて答をクリックしたとき,合っていれば消えます.
間違ったとき,HELPを読む場合でも読まないでもやり直すボタンを押せば再開できます.




















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