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=== 【三角関数の加法定理など公式一覧】 ===

(*)で示したものは,通常は覚えない.
必要になってから作るくらいの構えでよい.
[1] 加法定理
…(1.1)
…(1.2)
…(1.3)
…(1.4)
…(1.5)
…(1.6)


…(*1.7)


…(*1.8)



…(*1.9)



…(*1.10)

[2] 2倍角公式
…(2.1)
← (1.1)より

だから成り立つ
…(2.2)
← (1.3)より

だから成り立つ
…(2.3)
← (2.2)より


だから成り立つ
…(2.4)
← (2.2)より


だから成り立つ
…(2.5)
← (1.5)より


だから成り立つ
…(*2.6)
← (*1.7)より


だから成り立つ


[3] 半角公式
※半角公式はに関する2倍角公式(2.3)(2.4)と同じものと考えればよい.
…(3.1.1)
← (2.4)より

だから

が成り立つ
この半角公式は,次の形で書かれることもある.この場合,符号は角度の象限に応じてどちらか一方を選ぶことになる.
…(3.1.2)
この半角公式は,次の形で書かれることもある.この場合,倍角をと書いていることになる.
…(3.1.3)
…(3.1.4)
※数学なんて冷たい論理の世界の話で,好き嫌いのような個人的な感情を持ち込むのは場違いのように見えますが,いざ使おうとなると各自の内的な思考を再現することになります.
そこで,(3.1.1)〜(3.1.4)まで全部覚えようとするのは不利なので,どれか1つ確実にいえるものを覚えるとよい.
筆者は(3.1.1)が好みである.シンプルでかつ符号がコテコテしていないから.
…(3.2.1)
← (2.3)より

だから

が成り立つ
この半角公式は次の形で書かれることもある.
…(3.2.2)
…(3.2.3)
…(3.2.4)
※上記と同様にして,筆者の好みは(3.2.1)である.
…(3.3.1)
← (3.1.1)(3.2.1)より

だから成り立つ
この半角公式は次の形で書かれることがある.
…(3.3.2)
…(3.3.3)
…(3.3.4)
(3.3.2)(3.3.4)のようにな形で書かれる公式では,角度が属する象限に応じていずれか1つの符号を選ばなければならないが,次の形ではその心配はない.
…(*3.3.5)


だから成り立つ
…(*3.3.6)
だから,この関係式はの符号との符号がつねに等しいことを表している.
…(*3.3.7)
…(*3.3.8)
だから,この関係式はの符号との符号がつねに等しいことを表している.
[4] を用いて三角関数を有理関数(分数関数)に書き換える方法
とおくと
…(4.1)
←(2.5)より

だから成り立つ
…(4.2)




だから成り立つ
…(4.3)
←(4.2)÷(4.1)
※(4.2)(4.3)は分母が共通で,分子の比が(4.1)になります

[5] 3倍角公式,4倍角,・・・
…(5.1)
← (1.1)より





だから成り立つ
sinsinαで表せる.
…(5.2)
← (1.3)より





だから成り立つ
coscosαで表せる.
cosにしたら符号が変わる.
※「sinsinαで表せる.coscosαで表せそうだ.」というのは,当てはまる場合と当てはまらない場合があります.











[6] 積を和に直す公式
…(6.1)
…(6.2)
…(6.3)
…(6.4)
加法定理(1.1)〜(1.4)を用いて,各式の右辺を展開してみると証明できる.

[7] 和を積に直す公式
…(7.1)
…(7.2)
…(7.3)
…(7.4)
(6.1)〜(6.4)においてとおくと

となる.左辺と右辺を入れ換えると(7.1)〜(7.2)になる.

[8] 三角数列の和

…(*8.1)

…(*8.2)
(解説)
積を和に直す公式(6.4)

をうまく使うと


のように,各項を引き算に分けることができる.このとき,前の項でプラスになるものと後の項でマイナスのなるものがちょうど打ち消しあうように,の形を作っていくところがミソ.

元の問題がであるのに,「勝手に」を掛けて

を計算する.うまく答が出たら,結果をで割るのである.(掛けて割ったら元へと戻る)





辺々加えると,右辺の中間項が消えて,先頭と末尾だけが残る.

…(*)

次に,和を積に直す公式(7.4)

において

とおくと

だから,(*)の右辺は

したがって

両辺をで割ると,求めるべき和が得られる.


※同様にして(6.2)を使って(8.2)を示すことができます.
※(6.4)を利用してを掛けてから割るという方法でもできます.
※複素数についてのド・モアブルの定理を習っている場合には,次のように「等比数列の和」で求めることもできる.
【ド・モアブルの定理】

により



の虚部を求めたらよい.

は,初項,公比,項数の等比数列の和だから


以上のように理屈は簡単であるが,この後で実部と虚部を分けて虚部を取り出す計算は結構長くなる.
この計算を簡単にする工夫として,分母が共役複素数の差となるように,分母分子にを掛ける.



この式の分子を展開するとできる.



したがって,虚部は

実部は

→(8.1)(8.2)

[9] 三角形の内角について成り立つ式
△ABCの内角A, B, Cについては次の等式が成り立つ.
…(*9.1)
…(*9.2)
…(*9.3)
…(*9.4)
(解説)
△ABCの内角A, B, Cについては

が成り立つから


また



などが成り立つ.これにより
←(*9.1)は次のように示せる.





←(*9.2)は次のように示せる.






←(*9.3)は次のように示せる.




←さらに,この両辺をで割ると(*9.4)が示せる.


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