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【例題１】
\( \displaystyle x=\sqrt{5}+ 3,\hspace{5px}y=\sqrt{5}-3 \)のとき，\( \displaystyle 2x^2-2y^2 \)の値を求めなさい。求め方も書くこと。

　このくらいの問題では，力任せに単純計算主義で押し通していっても，一応できますが，与えられた式と求めるべき式の関係を利用して解くのがよい解き方です．
　見通しがよく，点検しやすい答案にすると，もっと複雑な問題を解くときでも，間違いが少なくなると考えるとよいでしょう．

【要点１】
与えられた条件式が
\( \displaystyle x=\sqrt{a}+\sqrt{b},\hspace{5px}y=\sqrt{a}-\sqrt{b} \)
とか
\( \displaystyle x=a+\sqrt{b},\hspace{5px}y=a-\sqrt{b} \)
などの形をしているときは，問題を解く前に，あらかじめ
\( \displaystyle x+ y,\hspace{5px}x-y,\hspace{5px}xy \)
などの簡単で使えそうな式を作っておき，求めたい式をそれらで表す．

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

(1)
\( \displaystyle x=\sqrt{5}+\sqrt{2},\hspace{5px}y=\sqrt{5}-\sqrt{2} \)のときの，式\( \displaystyle x^2y-xy^2 \)の値を求めなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle 6\sqrt{2} \) \( \displaystyle 6\sqrt{5} \) \( \displaystyle 2\sqrt{5}+\sqrt{10} \) \( \displaystyle 4\sqrt{5}-2\sqrt{10} \)

求める式は
\( \displaystyle x^2y-xy^2=xy(x-y) \)
と変形できるから，\( \displaystyle xy \)と\( \displaystyle x-y \)が判れば計算できる．
\( \displaystyle xy=(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=5-2=3 \)
\( \displaystyle x-y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{2} \)
ゆえに
\( \displaystyle x^2y-xy^2=xy(x-y)=3\times 2\sqrt{2} \)
\( \displaystyle =6\sqrt{2} \)…（答）

(2)
\( \displaystyle a=\sqrt{5}+ 2,\hspace{5px}b=\sqrt{5}-2 \)のとき，\( \displaystyle a^2-ab+ b^2 \)の値を求めよ。

解説 やり直す

\( \displaystyle 15 \) \( \displaystyle 17 \) \( \displaystyle 19 \) \( \displaystyle 21 \)

\( \displaystyle a^2-ab+ b^2=(a-b)^2+ ab \)
だから，\( \displaystyle a-b \)と\( \displaystyle ab \)の値が分かればよい．
\( \displaystyle a-b=4 \)
\( \displaystyle ab=5-4=1 \)
したがって
\( \displaystyle a^2-ab+ b^2=(a-b)^2+ ab=16+ 1=17 \)…（答）
（別解）
\( \displaystyle a^2-ab+ b^2=(a+ b)^2-3ab \)
だから，\( \displaystyle a+ b \)と\( \displaystyle ab \)の値が分かればよい．
\( \displaystyle a+ b=2\sqrt{5} \)
\( \displaystyle ab=5-4=1 \)
したがって
\( \displaystyle a^2-ab+ b^2=(a+ b)^2-3ab \)
\( \displaystyle =20-3=17 \)…（答）

(3)
\( \displaystyle x=\sqrt{7}+ 2,\hspace{5px}y=\sqrt{7}-2 \)のとき，\( \displaystyle x^2-y^2 \)の値を求めよ。

解説 やり直す

\( \displaystyle 4 \) \( \displaystyle 8 \) \( \displaystyle 4\sqrt{4} \) \( \displaystyle 8\sqrt{7} \)

\( \displaystyle x^2-y^2=(x+ y)(x-y) \)だから，\( \displaystyle x+y \)と\( \displaystyle x-y \)の値を求めておけばよい．
\( \displaystyle x+y=2\sqrt{7} \)
\( \displaystyle x-y=4 \)
したがって
\( \displaystyle (x+ y)(x-y)=2\sqrt{7}\times 4=8\sqrt{7} \) …（答）

(4)
\( \displaystyle x=\frac{5+\sqrt{7}}{2},\hspace{5px}y=\frac{5-\sqrt{7}}{2} \)のとき，
\( \displaystyle (x+3y)^2+(3x-y)^2+ 20xy \)の値を求めよ。

解説 やり直す

\( \displaystyle 50 \) \( \displaystyle 150 \) \( \displaystyle 250 \) \( \displaystyle 350 \)

\( \displaystyle (x+ 3y)^2+(3x-y)^2+ 20xy \)を変形しておくと
\( \displaystyle x^2+ 6xy+ 9y^2+ 9x^2-6xy+ y^2+ 20xy \)
\( \displaystyle =10x^2+ 20xy+ 10y^2=10(x+ y)^2 \)
ここで
\( \displaystyle x+ y=\frac{5+\sqrt{7}}{2}+\frac{5-\sqrt{7}}{2}=\frac{10}{2}=5 \)
したがって
\( \displaystyle 10(x+ y)^2=10\times 5^2=250 \)…（答）

【例題２】
\( \displaystyle x=\sqrt{5}+ 1 \)のとき，\( \displaystyle x^2-2x+1 \)の値を求めなさい。

　このくらいの問題では，力任せに単純計算主義で押し通していっても，一応できますが，与えられた式と求めるべき式の関係を利用して解くのがよい解き方です．
　見通しがよく，点検しやすい答案にすると，もっと複雑な問題を解くときでも，間違いが少なくなると考えるとよいでしょう．

≪1≫
２次方程式\( \displaystyle x^2-2x-4=0 \)を解の公式を使って解くと
\( \displaystyle x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2} \)
\( \displaystyle =1\pm\sqrt{5} \)

【解の公式】
\( \displaystyle a\ne 0 \)のとき
\( \displaystyle ax^2+ bx+ c=0 \)
の解は
\( \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

たとえば，１つの解が\( \displaystyle x=1+\sqrt{5} \)のとき，このまま両辺を２乗しても，きれいな形にはなりません．
\( \displaystyle x=1+\sqrt{5} \)
\( \displaystyle x^2=(1+\sqrt{5})^2=1+ 2\sqrt{5}+ 5=6+ 2\sqrt{5} \)
となって，根号が残ります．

\( \displaystyle x-1=\pm\sqrt{5} \)の形にするには，「右辺に根号が１つだけある形」でなければなりません．すなわち
\( \displaystyle x-1=\sqrt{5} \)
の両辺を２乗すると
\( \displaystyle (x-1)^2=5 \)
\( \displaystyle x^2-2x+1=5 \)
\( \displaystyle x^2-2x-4=0 \)…できあがり！

【要点２】
右辺を根号だけにしてから２乗する．
\( \displaystyle x=a+\sqrt{b}\hspace{5px}\rightarrow\hspace{5px}x-a=\sqrt{b} \)

※元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

(1)
\( \displaystyle x=-4+\sqrt{2} \)のとき，\( \displaystyle x^2+ 8x+ 16 \)の値を求めなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle \sqrt{2} \) \( \displaystyle 3\sqrt{2} \) \( \displaystyle 2 \) \( \displaystyle 3 \)

\( \displaystyle x=-4+\sqrt{2} \)のとき
\( \displaystyle x+ 4=\sqrt{2} \)
両辺を２乗すると
\( \displaystyle x^2+ 8x+ 16=2 \)…（答）

(2)
\( \displaystyle x=3-\sqrt{7} \)のとき，\( \displaystyle x^2-6x+ 9 \)の値を求めなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle -7 \) \( \displaystyle 7 \) \( \displaystyle -6\sqrt{7} \) \( \displaystyle 6\sqrt{7} \)

\( \displaystyle x=3-\sqrt{7} \)のとき
\( \displaystyle x-3=-\sqrt{7} \)
両辺を２乗すると
\( \displaystyle x^2-6x+ 9=7 \)…（答）

(3)
\( \displaystyle x=3+\sqrt{2} \)のとき，\( \displaystyle x^2-6x \)の値を求めよ。

解説 やり直す

\( \displaystyle -7 \) \( \displaystyle 7 \) \( \displaystyle -6\sqrt{2} \) \( \displaystyle 6\sqrt{2} \)

\( \displaystyle x=3+\sqrt{2} \)のとき
\( \displaystyle x-3=\sqrt{2} \)
両辺を２乗すると
\( \displaystyle x^2-6x+ 9=2 \)
\( \displaystyle x^2-6x=-7 \) …（答）

(4)
\( \displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)のとき，\( \displaystyle 4x^3+ 4x^2-2x-1 \)の値を求めよ。

解説 やり直す

\( \displaystyle 2-\sqrt{5} \) \( \displaystyle 2+\sqrt{5} \) \( \displaystyle -2-\sqrt{5} \) \( \displaystyle -2+\sqrt{5} \)

\( \displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)のとき
\( \displaystyle 2x=-1+\sqrt{5} \)
\( \displaystyle 2x+1=\sqrt{5} \)
両辺を２乗すると
\( \displaystyle 4x^2+ 4x+ 1=5 \)
\( \displaystyle 4x^2+ 4x-4=0 \)
\( \displaystyle x^2+ x-1=0 \)…(1)
このとき
\( \displaystyle x^3+ 4x^2-2x-1=4x( \) \( \displaystyle x^2+ x-1 \) \( \displaystyle )+2x-1 \)…(2)
(2)の赤で示した部分は(1)により０となって消えるから
(2)→
\( \displaystyle 2x-1=2\times\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-1 \)
\( \displaystyle =-1+\sqrt{5}-1=-2+\sqrt{5} \) …（答）
※この問題は，高校生１年生向けならば簡単な問題であるが，中学３年生向けとしては難し過ぎる（割り算して次数を下げることまでは習っていない）