♪♥♫♦∀== 難易などの目安 ==∳♣♬∅♠
《考え方》
　　基本★，普通★★，難しい★★★
《計算量》
　　少ない☆，普通☆☆，多い☆☆☆

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【問題1】
　右の図のように，関数 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\) のグラフ上に2点A, Bがあり，x座標はそれぞれ2, 4である。
　y軸上に点PをAP+BPの長さが最も短くなるようにとり，x軸上に点QをAP+BP=BQとなるようにとるとき，次の「お」，「か」にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。
　ただし，原点Oから点(1, 0)までの距離及び原点Oから点(0, 1)までの距離をそれぞれ1 cmとする。
　点Qとして考えられる2点をQ₁，Q₂とするとき，線分Q₁Q₂の長さはお\(\sqrt{\hspace{30px}}\)か　　　 cmである。

★, ☆ 　y軸に関して，Aと対称な点をA'とすると，AP+BPは，A'P+BPに等しいから，A, P, Bが一直線上にあるとき，最短になる．
　このとき，\({\rm A'}(-2, 2)\)と\({\rm B}(4,8)\)の距離は
　\(\sqrt{(4+2)^2+(8-2)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\)
\({\rm Q}(x,0)\)とおくと
　\({\rm PQ}=\sqrt{(4-x)^2+8^2}\)
次の方程式を解く
　\((4-x)^2+8^2=(6\sqrt{2})^2\)
　\(x^2-8x+16+64=72\)
　\(x^2-8x+8=0\)
　\(x=4\pm 2\sqrt{2}\)
\({\rm Q_1Q_2}\)の距離は
　\( (4+2\sqrt{2})-(4+2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\hspace{2px}(cm)\)…（答）
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【問題2】
　図２において，関数 \(y=x^2\) のグラフと直線mは２点A, Cで交わっている。直線mの式は \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\) で，点Cのx座標は\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)である。直線mとx軸の交点をEとおき，線分AC上に点Pをとる。点P, Aからx軸にひいた垂線をそれぞれPM, ANとし，点Pのx座標をtとする。
　△EANの面積が△EPMの面積の２倍となるとき，tの値を求めなさい。

★, ☆☆ •Eのx座標を求める
　\(\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=0\) より \(x=-1\)
•Aの座標を求める
　\(\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=x^2\)より
　\(\displaystyle 2x^2-x-1=0\)
２次方程式の解の公式を使って解く
　\(\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}\)
　\(\displaystyle x=-\frac{1}{2},1\)
大きい方がAのx座標だから，A(1, 1)
•\(\displaystyle {\rm P}(t,\frac{1}{2}t+\frac{1}{2})\)とおくと
　\(\displaystyle \triangle {\rm EPM}=(t+1)(\frac{1}{2}t+\frac{1}{2})\div 2=\frac{(t+1)^2}{4}\)
　\(\displaystyle \triangle {\rm EAN}=2\times 1\div 2=1\)
\(\displaystyle \triangle {\rm EAN}=2\triangle {\rm EPM}\)となるとき
　\(\displaystyle \triangle \frac{(t+1)^2}{4}=\frac{1}{2}\)
　\(\displaystyle \triangle (t+1)^2=2\)
　\(\displaystyle \triangle t+1=\pm\sqrt{2}\)
　\(\displaystyle \triangle t=-1\pm\sqrt{2} \fallingdotseq -2.4, 0.4\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}\lt t\lt 1\)だから
　\(\displaystyle t=-1+\sqrt{2}\)···（答）
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★, ☆ ア
x=−1のとき，y=1
x=0のとき，y=0
x=2のとき，y=4だから
yの変域は，0≦y≦4···（答）
★, ☆ イ
Aのx座標をaとおくと，y座標は\(a^2\)
点Cのy座標は，次の方程式を満たす
　\(a^2-4=2a-2\)
　\(a^2-2a-2=0\)
２次方程式の解の公式を使って解くと
　\(\displaystyle a=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}\)
仮定により\(a\gt 0\)だから，\(a=1+\sqrt{3}\)···（答） →解説を隠す←

【問題4】
　右の図において，㋐は関数 \(y=x^2\) のグラフ，㋑は関数 \(y=ax^2\hspace{2px}(0\lt a\lt 1)\) のグラフである。点Aは㋐のグラフ上にあり，点Bの座標は(0, 1)で，点Cと点Dは㋑のグラフ上にある。また，点Aと点Cのx座標は等しく，点Dのx座標は点Cのx座標より大きい。このとき，次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1)　点Aのx座標が2であり，点Bと点Cのy座標が等しいとき，次の�@，�Aの問いに答えなさい。
�@　aの値を求めなさい。
�A　四角形OCABの面積を求めなさい。
(2)　点Aのx座標を4とする。点Aと点B，点Bと点C，点Cと点D，点Dと点Aをそれぞれ結ぶと，平行四辺形になった。このとき，aの値を求めなさい。

★, ☆ (1)
�@
•A(2, 4), B(0, 1), C(2, 4a)で，点Bと点Cのy座標が等しいのだから
　\(1=4a\)
　\(\displaystyle a=\frac{1}{4}\)···（答）
�A
•四角形OCABは，OB∥CAの台形だから，その面積は
　\(\displaystyle \frac{(3+1)\times 2}{2}=4\)···（答）
(2)
•\({\rm A(4,16),B(0,1),C(4,16a),D(x,ax^2)}\)とおくと
\(x\)座標は
　\(\displaystyle \frac{4+4}{2}=\frac{0+x}{2}\)···(#1)
\(y\)座標は
　\(\displaystyle \frac{16+16a}{2}=\frac{1+ax^2}{2}\)···(#2)
(#1)より，\(x=8\)
これを(#2)に代入
　\(\displaystyle 16+16a=1+64a\)
　\(\displaystyle 48a=15\)
　\(\displaystyle a=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}\)···（答）
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【問題5】
　右の図のように，2つの関数
　\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2\)···㋐
　\(y=ax^2\) （\(a\)は定数）···㋑
のグラフがある。
　点Aは関数㋐のグラフ上にあり，x座標は2である。点Bは関数㋑のグラフ上にあり，y座標が4で，直線ABは原点Oを通る。また，点Cの座標は(4, 0)である。
　このとき，次の各問いに答えなさい。
(1)　aの値を求めよ。
(2)　直線BCの式を求めなさい。
(3)　直線BCとy軸との交点をDとする。また，関数㋑のグラフ上において，x座標が2より大きい点Pをとる。
　Pのx座標をtとするとき，
�@　四角形OCPDの面積を，tを使った式で表しなさい。
�A　四角形OCPDの面積が，△BACの面積の2倍となるようなtの値を求めなさい。

★, ☆ (1)
•A(2, −2), O(0, 0), B(x, 4)が一直線上にあるとすると
　2:(−2)=x:4
　−2x=8
　x=−4
•B(−4, 4)が関数\(y=ax^2\)のグラフ上にあるから
　\(4=a\times (-4)^2\)
　\(\displaystyle a=\frac{1}{4}\)···（答）
★, ☆ (2)
•B(−4, 4), C(4, 0)を通る直線の式をy=bx+cとおくと
　\(4=-4b+c\)···(#1)
　\(4=-8b\)
　\(\displaystyle b=-\frac{1}{2}\)
これを(#2)に代入
　\(c=2\)
直線の式は\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2\)···（答）
★★, ☆☆ (3)
�@　四角形OCPDの面積を右図のように，△OPDと△OCPに分けて求めると，底辺と高さが計算しやすい
　\(\displaystyle {\rm \triangle OPD}=\frac{2t}{2}=t\)
　\(\displaystyle {\rm \triangle OCP}=\frac{4\times \dfrac{t^2}{4}}{2}=\frac{t^2}{2}\)
　四角形OCPD\(\displaystyle =t+\frac{t^2}{2}\)···（答）
�A
•△BAC\(\displaystyle =\frac{4\times 4}{2}+\frac{4\times 2}{2}=12\)
• \(\displaystyle t+\frac{t^2}{2}=12\times 2\)
　\(\displaystyle t^2+2t-48=0\)
　\(\displaystyle (t+8)(t-6)=0\)
　\(\displaystyle t=6\hspace{5px}(\gt 0)\)···（答）
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【問題6】
　図１で，曲線は関数 \(\displaystyle y=\frac{3}{4}x^2\) のグラフです。曲線上にx座標が−2, 4である２点A, Bをとり，この２点を通る直線lをひくとき，次の各問いに答えなさい。
(1)　直線lの式を求めなさい。
(2)　図２のように，直線lと
x軸との交点をC，点Bからx軸に垂線をひき，x軸との交点をDとします。また，曲線上の0<x<4の範囲に，x座標がtである点Pをとります。△BCPの面積と△CDPの面積が等しくなるとき，点Pのx座標を求めなさい。

★★, ☆☆☆ (1)
　点Aの座標は，\(\displaystyle x=-2, y=\frac{3}{4}\times(-2)^2=3\)
　点Bの座標は，\(\displaystyle x=4, y=\frac{3}{4}\times 4^2=12\)
そこで，直線lの式を \(y=ax+b\) とおくと
　\(3=-2a+b\)…(#1)
−)\(12=4a+b\)…(#2)
　\(-9=-6a\)
　\(\displaystyle a=\frac{3}{2}\)
これを(#1)に代入
　\(b=6\)
直線lの式は
　\(\displaystyle y=\frac{3}{2}x+6\)…（答）
(2)
　　\(\displaystyle T=8\times\frac{3}{4}t^2\div 2=3t^2\)
　　\(\displaystyle U=12(4-t)\div 2=6(4-t)\)
　　\(\displaystyle S+T+U=8\times 12\div 2=48\)
したがって
　　\(\displaystyle S=48-3t^2-6(4-t)=24-3t^2+6t\)
\(S=T\)となるとき
　　\(\displaystyle 24-3t^2+6t=3t^2\)
　　\(\displaystyle 6t^2-6t-24=0\)
　　\(\displaystyle t^2-t-4=0\)
2次方程式の解の公式を使うと
　　\(\displaystyle t=\frac{1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\)
ここで，\(4\lt \sqrt{17}\lt 5\)だから
　　\(\displaystyle \frac{1-\sqrt{17}}{2}\lt 0\)
　　\(\displaystyle 2.5\lt\frac{1+\sqrt{17}}{2}\lt 3\)
\(0\lt t\lt 4\)の範囲にあるのは
　\(\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{2}\)…（答）
（別解）
　BDの中点M(4, 6)とC(−4, 0)を通る直線と \(\displaystyle y=\frac{3}{4}x^2\) との（右側の）交点をPとおくと，S=Tとなる．
　　\(\displaystyle \frac{3}{4}x^2=\frac{3}{4}x+3\)
　　\(\displaystyle 3x^2=3x+12\)
　　\(\displaystyle x^2-x-4=0\)
　　\(\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\)
このうちで，0<x<4の範囲に入るのは
　\(\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{2}\)…（答）
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【問題7】
　右の図のように，\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)···㋐のグラフ上に2点A, Bがあり，点Aのx座標が−4，点Bのx座標が2である。
　このとき，あとの各問いに答えなさい。
　ただし，原点をOとし，座標軸ざひょうじくの1目もりを1 cmとする。
(1)　点Bの座標を求めなさい。
(2)　関数㋐について，xの変域が−4≦x≦2のときのyの変域を求めなさい。
(3)　2点A, Bを通る直線の式を求めなさい。
(4)　原点Oから線分ABに垂線をひき，線分ABとの交点をHとする。線分OHの長さを求めなさい。

★, ☆ (1)
　\(x=2\)のとき，\(\displaystyle y=\frac{1}{4}\times 2^2=1\)だから
　B(2, 1)···（答）
★, ☆ (2)
　\(x=-4\)のとき，\(\displaystyle y=\frac{1}{4}\times (-4)^2=4\)だから
　A(−4, 4)
　yの変域は，0≦y≦4···（答）
★, ☆ (3)
　A(−4,4),B(2,1)を通る直線の式を \(y=ax+b\) とおく
　 \(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)
(#1)に代入
　 \(\displaystyle b=2\)
したがって，2点A, Bを通る直線の式は
　\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2\)···（答）
★★, ☆☆ (4)

♪〜使ってもよい公式一覧〜♪

	中学	高校
点と直線の距離の公式	×：使えない	〇：使える
垂直な直線の傾き	×：使えない	〇：使える
2点間の距離の公式	△：使える	〇：使える
三角形の面積=底辺×高さ÷2	〇：使える	〇：使える

　右図の△OABの面積は，△OAC+△OBCと考えると，それぞれの三角形は，底辺の長さがOC=2で，高さはAの|x座標|=4，Bの|x座標|=2を使って求められる
　△OAB\(\displaystyle =\frac{2\times 4}{2}+\frac{2\times 2}{2}=6\)
　一方，△OABの面積は，底辺の長さがABで高さがOH=hと見ると
　\({\rm AB}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)
から
　△OAB\(\displaystyle =3\sqrt{5}h\div 2\)
　2通りの計算方法で求めた△OABの面積は等しいから
　\(3\sqrt{5}h\div 2=6\)
　\(\displaystyle h=\frac{12}{3\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
（別解）···「たまたま解ける=ラッキー」でも解けたらよい
B(2, 1), C(0, 2), O(0, 0)だから，右の△OBCは，OB=BCの二等辺三角形になっている
したがって，
　∠COH=∠OBD
　△COH∽△OBD
　\({\rm CO:OH=OB:BD}\)
ここで,\({\rm OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}}\)だから
　\(2:h=\sqrt{5}:2\)
　\(\sqrt{5}h=4\)
　\(\displaystyle h=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
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