♪♥♫♦∀== 難易などの目安 ==∳♣♬∅♠
《考え方》
　　基本★，普通★★，難しい★★★
《計算量》
　　少ない☆，普通☆☆，多い☆☆☆

【三角形の面積比】
右図において，△APQの面積は
\(\displaystyle\triangle APQ=\triangle ABC\times\frac{p}{b}\times\frac{q}{c}\)
に等しい
（証明）
△ABCと△ABQとは,底辺△ABが共通だから，面積の比は，高さ\(h:h_1\)の比に等しい。
　ここで，相似図形の性質により，\(h:h_1=c:q\)だから
\(\displaystyle\triangle ABQ=\triangle ABC\times\frac{q}{c}\)
　次に,△ABQと△APQとは,高さ\(h_1\)が共通で，面積の比は，底辺の長さ\(b:p\)の比に等しい。
\(\displaystyle\triangle APQ=\triangle ABQ\times\frac{p}{b}\)
　したがって
\(\displaystyle\triangle APQ=\triangle ABC\times\frac{q}{c}\times\frac{p}{b}\)…（証明終）∎

【正四面体（正三角錘）の高さ\(h\)，体積\(V\)】
１辺の長さが\(a\) (cm)の正四面体（正三角錐）の高さ\(h\) (cm)は
\(\displaystyle h=\frac{\sqrt{6}}{3}a\) (cm)
１辺の長さが\(a\) (cm)の正四面体（正三角錐）の体積\(V\) (cm³)は
\(\displaystyle V=\frac{\sqrt{2}}{12}a\) (cm³)
（証明）
△BCDは正三角形で，CDの中点をEとおくと
\(\displaystyle BC=a, CE=\frac{1}{2}a,BE=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)
Aから底面△BCDに引いた垂線の足をHとくと，Hは△BCDの重心になっているから
\(\displaystyle BH=\frac{2}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
△ABHは∠H=90°の直角三角形だから，三平方の定理により
\(\displaystyle h^2+\Big(\frac{\sqrt{3}}{3}a\Big)^2=a^2\)
\(\displaystyle h^2=a^2-\frac{1}{3}a^2=\frac{2}{3}a^2\)
\(\displaystyle h=\sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a\) (cm)…∎
次に，体積を（底面積）×（高さ）÷3によって求めると
\(\displaystyle V=(a\times\frac{\sqrt{3}}{2}a\div 2)\times\frac{\sqrt{6}}{3}a\div 3=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\) (cm³)…∎

【三角錘の体積比】
　右図�Tのような三角錐において，三角錐O-ABCと三角錐O-PQRの体積比 \(V:V'\) は
\(\displaystyle V:V'=abc:pqr\)
すなわち
\(\displaystyle V'=V\times\frac{p}{a}\times\frac{q}{b}\times\frac{r}{c}\)
（証明）
三角錐O-ABCと三角錐O-PBCについて，底面△OBCは共通で高さはa:pだから，その体積比 \(V:V_1\) はa:p
\(\displaystyle V_1=V\times\frac{p}{a}\)
三角錐O-PBCと三角錐O-PQCについて，底面△OPCは共通で高さはb:qだから，その体積比 \(V_1:V_2\) はb:q
\(\displaystyle V_2=V_1\times\frac{q}{b}\)
三角錐O-PQCと三角錐O-PQRについて，底面△OQCは共通で高さはc:rだから，その体積比 \(V_2:V'\) はc:r
\(\displaystyle V'=V_2\times\frac{r}{c}\)
したがって
\(\displaystyle V'=V\times\frac{p}{a}\times\frac{q}{b}\times\frac{r}{c}\)
　右図�Uのような三角錐において，三角錐A-BCDと三角錐A-PQRの体積比 \(V:V'\) は
\(\displaystyle V:V'=bcd:pqr\)
すなわち
\(\displaystyle V'=V\times\frac{p}{b}\times\frac{q}{c}\times\frac{r}{d}\)
（証明）
三角錐A-BCDと三角錐A-PCDについて，底面△ACDは共通で高さはb:pだから，その体積比 \(V:V_1\) はb:p
\(\displaystyle V_1=V\times\frac{p}{b}\)
三角錐A-PCDと三角錐A-PQDについて，底面△APDは共通で高さはc:qだから，その体積比 \(V_2:V_2\) はc:q
\(\displaystyle V_2=V_1\times\frac{q}{c}\)
三角錐A-PQDと三角錐A-PQRについて，底面△APQは共通で高さはd:rだから，その体積比 \(V_2:V'\) はd:r
\(\displaystyle V'=V_2\times\frac{r}{d}\)
したがって
\(\displaystyle V'=V\times\frac{p}{b}\times\frac{q}{c}\times\frac{r}{d}\)

【三角柱，三角錐，断頭三角柱の体積】
　右図1のような底面積が\(S\)で高さが\(h\)の三角柱の体積は
\(\displaystyle V=S\times a\)…(1)
　右図2のような底面積が\(S\)で高さが\(a\)の三角錘の体積は
\(\displaystyle V=S\times \frac{a}{3}\)…(2)
　右図3のような底面積が\(S\)で，これに垂直な高さが各々\(a,b,c\)である断頭三角柱の体積は
\(\displaystyle V=S\times \frac{a+b+c}{3}\)…(3)
　右図4のような底面積が\(S\)で，これに垂直な高さが各々\(a,a,b\)である断頭三角柱の体積は
\(\displaystyle V=S\times \frac{a+a+b}{3}\)…(4)

フランス革命で断頭台に消えたマリーアントワネットの話は有名
･･･植物では，バラや菊の切り花をもらったときに，花の部分を切り取って挿し木にすると，養分を浪費しないので根付きやすい

【問題1】
　右の図のような，1辺の長さが4cmの正方形を底面とし，高さが6cmの直方体ABCD-EFGHがあり，辺AE上にAI=4cmとなる点Iをとります。
　点Pが頂点Bを出発して毎秒1cmの速さで辺BF上を頂点Fまで動くとき,次の各問に答えなさい。
(1) IP+PGの長さが最も短くなるのは，点Pが頂点Bを出発してから何秒後か求めなさい。
(2)　頂点Bを出発した後の点Pについて，△APCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
(3)　頂点Bを出発してから4秒後の点Pについて，3点I, P, Cを通る平面で直方体を切ったときにできる２つの立体のうち，体積が大きい方の立体の表面積を求めなさい。

（解答）
★, ☆☆ (1)　右図のような展開図（一部）において，IP+PGの長さを考えると，最も短くなるのは，3点I,P,Gが一直線上にあるとき
このとき,PF=1となるから，BP=5.
点Pは秒速1cmで動くから，5秒後…（答）
(2)　△APB≡△CPBを示せば，AP=BPが言えて，△APCが二等辺三角形になると言える。
　△APBと△CPBについて

1. BPは共通


2. AB=BC=4cm


3. ∠ABP=∠CBP=90°

以上により，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△APB≡△CPB
したがって，AP=BPになり，△APCは二等辺三角形
(3)　体積が大きい方の立体は，右図のDIPC-HEFG
その表面積は，次の6個の面積の和になる
□IEFP=2×4=8
□EFGH=4×4=16
□HGCD=6×4=24
□IPCD=\(4\sqrt{2}\times4=16\sqrt{2}\)
⏢FGCP=⏢EHDI
\(\displaystyle =\frac{(2+6)\times 4}{2}=16\)
\(\displaystyle S=8+16+24+16\sqrt{2}+16\times 2=80+16\sqrt{2}\)…（答）
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【問題2】
　右の図１に示した立体
A-BCDは，１辺の長さが6 cmの正四面体である。
　辺ACの中点をMとする。
　点Pは，頂点Aを出発し，辺AB，辺BCを毎秒1 cmの速さで動き，12秒後に頂点Cに到着する。
　点Qは，点Pが頂点Aを出発するのと同時に頂点Cを出発し，辺CD，辺DA上を，点Pと同じ速さで動き，12秒後に頂点Aに到着する。
　点Mと点P，点Mと点Qをそれぞれ結ぶ。
　次の各問に答えよ。
［問１］　次の 　　　 の中の「く」「け」に当てはまる数字
をそれぞれ答えよ。
　図１において，点Pが辺AB上にあるとき，MP+MQ=l cmとする。

［問２］　次の 　　　 の中の
「こ」「さ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　右の図２は，図１において，点Pが頂点Aを出発してから8秒後のとき，頂点Aと点P，点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。
　立体Q-APMの体積は，こ\(\sqrt{\hspace{34px}}\)さ　　　　 cm³である。

（解答）
★, ☆☆ ［問１］
　右の展開図（一部）において，△ABCと△ACDはいずれも正三角形で，∠BAC=∠DCA=60°（錯角が等しい）だからAB∥DC
　次に，AP=CQで点Mは点ACの中点だから，PMQは直線になる．
　このとき，MP+MQが最短になるのは，PQ⊥ABのとき
　ABの中点をHとすると，上記の場合CH=PQ，\({\rm AH=3,AC=6,CH=3\sqrt{3}}\)
　したがって
\(\displaystyle {\rm AP}=\frac{3}{2}\)
毎秒1cmの速さで動くから，\(\displaystyle \frac{3}{2}\)秒後…（答）

★★★, ☆☆☆ ［問２］
　前記のワンポイント・レッスン 図�Uにおいて，a=b=c=6, p=4,q=3,r=4の場合を考えると
\(\displaystyle V'=V\times\frac{4}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}=V\times\frac{2}{9}\)
また、正四面体の体積は
\(\displaystyle V=\frac{\sqrt{2}}{12}\times 6^3=18\sqrt{2}\)
　結局
\(\displaystyle V'=18\sqrt{2}\times\frac{2}{9}=4\sqrt{2}\hspace{5px}(cm^3)\)…（答）
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【問題3】
　図�Tのような1辺の長さが6 cmの立方体がある。
　このとき，次の1〜4の問いに答えなさい。
1, 2 （略）
3　図�Vは，図�Tにおいて，頂点Aを出発して，頂点Bまで動く点Pと，頂点Gを出発して，頂点Hまで動く点Qを示したものである。点P，Qは，それぞれ頂点A, Gを同時に出発して，頂点B, Hまで同じ速さで動く。
　このとき，線分PQが動いてできる図形の面積を求めなさい。
4　図�Wは，図�Vにおいて，頂点Eを出発して，頂点Fまで動く点Rを示したものである。3点P, Q, Rは，それぞれ頂点A, G, Eを同時に出発して頂点B, H, Fまで同じ速さで動く。
　このとき，△PQRが動いてできる立体の体積を求めなさい。

（解答）
★★, ☆ 3　線分PQが動いてできる図形は，右図の水色で示した△ABIと△GHI
　いずれも，底辺の長さはAB(GH)=6，高さはJK=BG=\(6\sqrt{2}\)の半分だから，面積は
\(\displaystyle (6\times 3\sqrt{2}\div 2)\times 2=18\sqrt{2}\hspace{5px}(cm^2)\)
★★, ☆☆ 4　図形を見やすくするために，ABの中点J，EFの中点L，HGの中点Kを通る平面で半分に切った立体の体積を求めて２倍することにする

　四角錘\(I-AJLE\)の体積は\(V_1=(3\times 6)\times 3\div 3=18\)
　三角錐\(I-ELM\)の体積は\(V_2=(3\times 3\div 2)\times 3\div 3=\frac{9}{2}\)
　三角錐\(I-MKH\)の体積は\(V_3=(3\times 3\div 2)\times 3\div 3=\frac{9}{2}\)
\(V=(V_1+V_2+V_3)\times 2=54\hspace{5px}(cm^3)\)

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【問題4】
　図３の立体は，△ABCを１つの底面とする三角柱である。この三角柱において，∠ACB=90°，AC=BC, AB=12 cm，AD=3 cmであり，側面はすべて長方形である。また，点Pは，点Eを出発し，毎秒1 cmの速さで３辺ED, DA, AB上を，点D, Aを通って点Bまで移動する。
　このとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　点Pが辺ED上にあり，△ADPの面積が \(6 cm^2\) となるのは，点Pが点Eを出発してから何秒後か，答えなさい。
(2)　点Pが点Eを出発してから14秒後のとき，△APEを，辺APを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
(3)　この三角柱において，図４のように点Pが辺AB上にあり，CP+PDが最小となるときの，線分PFの長さを求めなさい。

（解答）
★, ☆ (1)　\(\displaystyle \frac{{\rm AD\times DP}}{2}=6\)により
\(\displaystyle \frac{{\rm 3\times DP}}{2}=6\)
\(\displaystyle {\rm DP}=4\)
したがって
\(\displaystyle {\rm EP}=8\)だから
\(8\)秒後…（答）
★★, ☆☆ (2)　回転体は右図のように，△ADEを回転してできる円錐：体積\(V_1\)から，△PDEを回転してできる円錐：体積\(V_2\)を取り除いたものになる．
\(\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi\times 12^2\times 3=144\pi\)
\(\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi\times 12^2\times 2=96\pi\)
\(\displaystyle V_1-V_2=144\pi-96\pi=48\pi\hspace{5px}(cm^3)\)

★★, ☆☆ (3)　ABの中点をM，DEの中点をNとすると，右図の相似図形から
\(\displaystyle {\rm PM:CM=DN:CN} \)
\(\displaystyle {\rm PM}:6=6:9 \)
\(\displaystyle {\rm PM}=4 \)
次に直角三角形△MFCについて，∠Mが90°だから，三平方の定理により
\(\displaystyle {\rm PC^2=PM^2+CM^2} \)
\(\displaystyle {\rm PC^2}=4^2+6^2=52 \)
\(\displaystyle {\rm PC}=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \)
次に直角三角形△PCFについて，∠Cが90°だから，三平方の定理により
\(\displaystyle {\rm PF^2=PC^2+CF^2}=52+9=61 \)
\(\displaystyle {\rm PF}=\sqrt{61} \)
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【問題5】
　右の図のように，AB=9 cm, AD=12 cm, AE=6 cmの直方体がある。点Pは，Aを出発して辺AE上を毎秒1 cmの速さでEまで動く。点Qは，Dを出発して辺DA上を毎秒2 cmの速さでAまで動く。また，点Pと点Qは同時に出発し，出発してからの時間をx秒とする。ただし，0≦x≦6とする。
　このとき，(ア)〜(ウ)の各問いに答えなさい。
(ア)　点Pと点Qが出発してから3秒後の三角錐PABQの体積を求めなさい。
(イ)　点Qが出発してからx秒後の線分QAの長さをxを用いて表しなさい。
(ウ)　三角錐PABQの体積が \(24 cm^3\) になるのは，点Pと点Qが出発してから何秒後か求めなさい。
　ただし，xについての方程式を作り，答えを求めるまでの過程も書きなさい。 　

（解答）
★, ☆ (ア)　PA=3, QA=6, AB=9だから
\(\displaystyle \frac{6\times 9}{2}\times 3\div 3=27\hspace{5px}(cm^3) \)
★, ☆ (イ)　QA=12−2x (cm)
★, ☆☆ (ウ)
\(\displaystyle \frac{(12-2x)\times 9}{2}\times x\div 3=24 \)
\(\displaystyle (6-x)\times 9x=72 \)
\(\displaystyle (6-x)x=8 \)
\(\displaystyle x^2-6x+8=0 \)
\(\displaystyle (x-2)(x-4)=0 \)
\(\displaystyle x=2, 4 \)秒後
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【問題6】
　図�Uにおいて，立体ABCD-EFGHは四角柱である。四角形ABCDはAD∥BCの台形であり，AD=3 cm, BC=7 cm, AB=DC=6 cm である。四角形EFGH≡ABCDである。四角形EFBA, HEAD, HGCD, GFBCは長方形であり，EA=9 cmである。Iは，辺AB上にあってA, Bと異なる点である。FとIとを結ぶ。Jは，Iを通り辺BCに平行な直線と辺DCとの交点である。FとJ，BとJとをそれぞれ結ぶ。
　次の問いに答えなさい。
(3)　略
(4)　AI=2 cmであるとき，
�@　線分IJの長さを求めなさい。
�A　立体IFBJの体積を求めなさい。 　

（解答）
★, ☆ �@　BA, CDの延長線が交わる点をXとおくと，△XADと△XBCとは相似図形になる
　ここでXA=\(\mathscr{l}\)とおくと
\(\displaystyle \mathscr{l}:3=(\mathscr{l}+6):7 \)
\(\displaystyle 7\mathscr{l}=3\mathscr{l}+18 \)
\(\displaystyle 4\mathscr{l}=18 \)
\(\displaystyle \mathscr{l}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2} \)
次に，△XADと△XIJも相似図形だから
\(\displaystyle \frac{9}{2}:3=(\frac{9}{2}+2):{\rm IJ} \)
\(\displaystyle \frac{9}{2}{\rm IJ}=3\times\frac{13}{2} \)
\(\displaystyle {\rm IJ}=\frac{13}{3} \)
★★, ☆☆ �A　△IJBを底面として，BFを高さとする三角錐の体積を求める
　右図において，△ABPは直角三角形だから
\(\displaystyle {\rm AP}^2+2^2=6^2 \)
\(\displaystyle {\rm AP}^2=36-4=32 \)
\(\displaystyle {\rm AP}=\sqrt{32}=4\sqrt{2} \)
AP:IR=6:4だから
\(\displaystyle 4\sqrt{2}:{\rm IR}=6:4 \)
\(\displaystyle {\rm IR}=\frac{16\sqrt{2}}{6}=\frac{8\sqrt{2}}{3} \)
求める三角錐の体積は
\(\displaystyle {\rm IR\times IJ\div 2}\times{\rm FB}\div 3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\times\frac{13}{3}\times\frac{1}{2}\times 9\times\frac{1}{3} \)
\(\displaystyle =\frac{52\sqrt{2}}{3}\hspace{5px}(cm^3) \)
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【問題7】
　図１のように，三角柱ABC-DEFの形をした透明な容器に，水を入れて密閉した。この容器の側面はすべて長方形で，AB=6 cm, BC=8 cm, CF=12 cm, ∠ABC=90°である。
この容器を，△DEFが容器の底になるように，水平な台の上に置いた。このとき，容器の底から水面までの高さは8 cmである。この容器を図２のように，四角形FEBCが容器の底になるように，水平な台の上に置きかえたとき，容器の底から水面までの高さを求めなさい。ただし，容器の厚みは考えないものとする。

（解答）
★★, ☆☆ 　水の体積（元の三角柱の底から8 cmまでの体積）は
\(\displaystyle V=\frac{6\times 8}{2}\times 8=192\hspace{5px}(cm^3) \)
　図２において，△ABCを右図のように見ると
\(\displaystyle l:a=6:8 \)
\(\displaystyle a=\frac{4}{3}l \)
\(\displaystyle 12S=192 \)
\(\displaystyle S=16\hspace{5px}(cm^2) \)
次に
\(\displaystyle \frac{(\dfrac{4}{3}l+8)(6-l)}{2}=S \)
\(\displaystyle (\frac{4}{3}l+8)(6-l)=2S=32 \)
\(\displaystyle (4l+24)(6-l)=96 \)
\(\displaystyle (l+6)(6-l)=24 \)
\(\displaystyle 6^2-l^2=24 \)
\(\displaystyle l^2=36-24=12 \)
\(\displaystyle l=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \)
\(\displaystyle 6-l=6-2\sqrt{3}\hspace{5px}(cm) \)
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【問題8】
　右の図１の四角すいOABCDにおいて，面ABCDは \({\rm AB=AD}=\sqrt{3}\hspace{2px}cm\) ，\({\rm BC=CD}=2\hspace{2px}cm\) の四角形である。
　また，辺OAは面ABCDと垂直で，\({\rm OA}=3\hspace{2px}cm\), \(\angle {\rm OBC}=90^{\circ}\) である。
　このとき，次の各問いに答えなさい。
問１　辺OBの長さを求めなさい。
問２　四角すいOABCDにおいて，△OBCや△OAC で三平方の定理を利用することにより， \({\rm AC}=\sqrt{7}\hspace{2px}cm\) であることが分かった。
　このことによって，分かることがらとして正しくないものを，次のア〜エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。
ア　∠ABC=90°である。
イ　線分ACは，3点A, B, Cを通る円の直径である。
ウ　四角形ABCDは台形である。
エ　点Dは，3点A, B, Cを通る円の円周上にある。
問３　四角すいOABCDの体積を求めなさい。
問４　右の図２のように，図１の 四角すいOABCDの表面に，点Aから辺OBを通って点Cまで糸をかける。かける糸の長さが最も短くなるときの糸の長さを求めなさい。

（解答）
★, ☆ 問１
　△OABは∠OAB=90°の直角三角形だから，三平方の定理により
\(\displaystyle {\rm OB^2}=3^2+(\sqrt{3})^2=12 \)
\(\displaystyle {\rm OB}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \)
★, ☆ 問２
　右図において，\({\rm AB^2+BC^2=AC^2}\)となるから
ア　∠ABC=90°である。⇒ 〇
イ　線分ACは，3点A, B, Cを通る円の直径である。⇒ 〇
ウ　四角形ABCDは台形である。⇒ ×
エ　点Dは，3点A, B, Cを通る円の円周上にある。⇒ 〇
　以上から，正しくないものはウ
★, ☆ 問３
　底面ABCDの面積は
\(\displaystyle \frac{2\times\sqrt{3}}{2}\times 2=2\sqrt{3} \)
　四角すいOABCDの体積は
\(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\times 3}{3}=2\sqrt{3}\hspace{5px}(cm^3) \)
★★, ☆☆ 問４
　右の展開図において，BCの延長線へAから降ろした垂線の足をHとおくと
\(\displaystyle {\rm AH=\frac{\sqrt{3}}{2},HB}=\frac{3}{2} \)
だから，直角三角形AHCに三平方の定理を使うと
\(\displaystyle {\rm AC^2}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{3}{2}+2)^2=\frac{3}{4}+\frac{49}{4}=\frac{52}{4}=13 \)
\(\displaystyle {\rm AC}=\sqrt{13} \)
（別解）
AからOCに降ろした垂線の足をKとおくと，右図において△ACKは∠Kが90°の直角三角形になるから
\(\displaystyle {\rm AC^2}=(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{5}{2})^2=\frac{27}{4}+\frac{25}{4}=\frac{52}{4}=13 \)
\(\displaystyle {\rm AC}=\sqrt{13} \)
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【問題9】
　図１，図２，図４のように，1辺が4 cmの立方体ABCDEFGHがある。また，辺EF, EHの中点をそれぞれP, Qとする。このとき，次の問いに答えなさい。
問１　図１において，三角錐すい
AEPQの体積は何\(cm^3\)か。
問２　図２において，線分PQ，線
分BPの長さはそれぞれ何\(cm\)か。
問３　図２において，四角形BDQP は，BP=DQの台形である。図３は台形BDQPを平面に表したものであり，２点P，Qから辺BDにひいた垂線と辺BDとの交点を それぞれR, Sとする．このとき，次の(1)〜(3)に答えよ。
(1)　線分BRの長さは何\(cm\)か。
(2)　台形BDQPの面積は何\(cm^2\)か。
(3)　立体ABDEPQの体積は何\(cm^3\)か。
問４　図４のように，点Aから台形 BDQPにひいた垂線と台形BDQP との交点をTとする。このとき，線分ATの長さは何\(cm\)か。

（解答）
★, ☆ 問１
　△EPQの面積は，\(\displaystyle \frac{2\times 2}{2}=2\)だから，三角錐AEPQの体積は
\(\displaystyle V=\frac{2\times 4}{3}=\frac{8}{3}\hspace{5px}(cm^3)\)
★, ☆ 問２
　△EPQは∠E=90°の直角三角形だから
\(\displaystyle {\rm PQ^2=EP^2+EQ^2}=4+4=8\)
\(\displaystyle {\rm PQ}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\hspace{5px}(cm)\)
　△PBFは∠F=90°の直角三角形だから
\(\displaystyle {\rm BP^2=PF^2+BF^2}=4+16=20\)
\(\displaystyle {\rm BP}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\hspace{5px}(cm)\)
★, ☆ 問３
(1)\(\displaystyle {\rm BD}=4\sqrt{2}\)
\(\displaystyle {\rm BP=DS}=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\hspace{5px}(cm)\)
(2)\(\displaystyle {\rm RP^2+RB^2=PB^2}\)
\(\displaystyle {\rm RB^2}=(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2=18\)
\(\displaystyle {\rm RB}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
台形の面積は
\(\displaystyle {\rm (DB+QP)\times RP}\div 2=6\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\div 2\)
\(\displaystyle=18\hspace{5px}(cm^2)\)
　右図のようにAEの延長とBPの延長（DQの延長も）が交わる点をXとおくと，ABDXとEPQXは三角錐になり，それぞれの体積は
\(\displaystyle \frac{4\times 4}{2}\times 8\div 3=\frac{64}{3}\)
\(\displaystyle \frac{2\times 2}{2}\times 4\div 3=\frac{8}{3}\)
　立体ABDEPQの体積は
\(\displaystyle \frac{64}{3}-\frac{8}{3}=\frac{56}{3}\hspace{5px}(cm^3)\)
★★, ☆☆ 問４
　立体ABDEPQは四角錘AQPBDと三角錐AQEPに分けられる。
　三角錐AQEPの体積は
\(\displaystyle \frac{2\times 2}{2}\times 4\div 3=\frac{8}{3}\)
　四角錘AQPBDの体積は
\(\displaystyle \frac{56}{3}-\frac{8}{3}=\frac{48}{3}=16\)
これを四角錘AQPBDの高さ\({\rm AT}\)を使って表すと
\(\displaystyle \frac{18{\rm AT}}{3}=16\)
\(\displaystyle {\rm AT}=\frac{48}{18}=\frac{8}{3}\hspace{5px}(cm)\)
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【問題10】
　図1〜図4のように，AB=AD=\(3\sqrt{2}\hspace{2px}cm\)，AE=\(8\hspace{2px}cm\)の正四角柱ABCD-EFGHがある．
　このとき，次の(1)〜(3)に答えなさい。ただし，円周率は\(\pi\)とする。
(1),(2) 略
(3)　図3のように，正四角柱ABCD-EFGHの容器に水を満たした。次に，図4のように，この容器を傾けると，水がこぼれて，水面が四角形APQRになった。ただし，点P, Q, Rは，それぞれ辺BF, CG, DH上にあり，BP=DRとする．
　残っている水の体積が， はじめに入っていた水の体積の\(\displaystyle\frac{4}{5}\)倍になるとき，線分CQの長さを求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。ただし，容器の暑さは考えないものとする。 　

（解答）
★★, ☆ 　右図のように，Qを通って，底面EFGHに平行な平面で切ると，水が流れ出た立体と立体TUQS-APQRとは，立体として回転して一致する．したがって，正四角柱ABCD-TUQSの体積は，元の正四角柱ABCD-EFGHの体積の\(\displaystyle\frac{2}{5}\)倍となり，\(\displaystyle {\rm CQ}=8\times\frac{2}{5}=\frac{16}{5}\hspace{5px}(cm)\)
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【問題11】
　右の図�Tは，底面が直角三角形で，側面がすべて長方形の三角柱です。
\({\rm EF=6\hspace{1px}cm,}\)
\({\rm DF=2\sqrt{5}\hspace{1px}cm,} \)
\({\rm BE=9\hspace{1px}cm}\)で点M, Nはそれぞれ辺EF, DFの中点です。
　図�Uは，図�Tの立体を4点A, B, M, Nをふくむ平面で切ったときの頂点D, Eをふくむ方の立体です。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　略
(2)　図�Uの立体の体積を求めなさい。 　

（解答）
★★, ☆☆☆ ==図形を延長して，計算しやすい三角錐を作る==
　BM, CF, ANの延長線が交わる点をXとおく．
　このとき，X-ABCは三角錐で，X-NMFも三角錐になる．
\({\rm EF=6,DF=2\sqrt{5}}\)で△DEFは∠D=90°の直角三角形だから
\(\displaystyle {\rm DE^2}=6^2-(2\sqrt{5})^2=16\)
\(\displaystyle {\rm DE}=4\)
　三角柱ABC-DEFの体積は
\(\displaystyle \frac{2\sqrt{5}\times 4}{2}\times 9=36\sqrt{5}\)…(#1)
　三角錘X-ABCの体積は
\(\displaystyle \frac{2\sqrt{5}\times 4}{2}\times 18\div 3=24\sqrt{5}\)…(#2)
　三角錘X-NMFの体積は
\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}\times 2}{2}\times 9\div 3=3\sqrt{5}\)…(#3)
　立体ABC-NMFの体積は，(#2)−(#3)により
\(\displaystyle 21\sqrt{5}\)…(#4)
　求める立体AB-DEMNの体積は，(#1)−(#4)により
\(\displaystyle 15\sqrt{5}\)…(答)
（別解）==図形を2つに分けて，計算しやすい形にする==
　右図のように平面BEMで2つに分けると，B-EMNはEMNを底面とし，BEを高さとする三角錐になる。
　その体積は
\(\displaystyle {\rm \frac{MN\times DN}{2}\times BE\div 3 }\)
\(\displaystyle =\frac{2\times \sqrt{5}}{2}\times 9\div 3=3\sqrt{5}\)…(#5)
　また，N-ABEDはABEDを底面として，DNを高さとする四角錘になる。
　その体積は
\(\displaystyle {\rm AB\times BE\times DN\div 3 }\)
\(\displaystyle =4\times 9\times \sqrt{5}\div 3=12\sqrt{5}\)…(#6)
　求める立体AB-DEMNの体積は，(#5)+(#6)により
\(\displaystyle 15\sqrt{5}\)…(答)
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