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【三角形,平行線,外角の高校入試問題(2)】
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【問題】
解答を見る右の図のように，∠C=90°, ∠D=120°の四角形ABCDがある。同じ印をつけた角の大きさが等しいとき，∠xの大きさを求めなさい。 （2023年徳島県公立高校入試問題）
== 三角形・四角形の内角の和：基本 ★ ==
右図の四角形ABCDの内角の総和は，360°であるから
三角形の内角の総和は，180°である 四角形の内角の総和は，360°である 2∠y+2∠z+120°+90°=360°
2∠y+2∠z=150°
∠y+∠z=75°
右図の三角形ABEの内角の総和は，180°であるから ∠x+(∠y+∠z)=180°
∠x=180°−75°=105°···（答）
 中学校の教科書で，図の中はxと書き，式の中は∠xと書くようです |
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【問題】
解答を見る図2で，l∥mのとき，∠xの大きさは何度か，求めなさい。 （2024年兵庫県公立高校入試問題）
== 平行線の同位角，錯角：基本 ★ ==
⇒問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す （解説１） 右図の赤で示した三角形ABCの内角の和が180°になることを使って，∠xを求める． そのとき，l∥mという条件から，∠xの錯角が∠ACB=∠xとなることを使う． A=120°，B=20°だからA+B+∠x=180°により ∠x＝40° 40度 ···（答） 「三角形の外角は，これと隣り合わない2つの内角の和に等しい」という定理を使って 「Aの外角60°は20°+∠x」から，∠x＝40°としてもよい （解説２） 右図の青で示した三角形PQRの内角の和が180°になることを使って，∠xを求めてもよい． その場合に，l∥mという条件は，平行線の同位角として，Pの外角が60°に等しいという形で使われる． ◎はっきり言えば（解説１）の方が分かりやすい （∵）図が「ゆったりと大きく見える方」が，見やすいから 見やすい≡間違いが少ない ∠x＝40° 40度 ···（答） 解説１と同様に，三角形の外角で考える答案もできる． |
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【問題】
解答を見る右の図のように，正方形ABCD，正三角形PQRがある。このとき，∠xの大きさを求めなさい。 （2025年秋田県公立高校入試問題）
== 平行線の同位角，錯角：基本 ★ ==
 ▼正方形，正三角形 ⇒ 衣装が多過ぎて，見方がわからん ◎正方形 ⇒ AD∥BCだけを使う ◎正三角形 ⇒ ∠Q=60°だけを使う ∠x+25°=60°
∠x=35°
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【問題】
解答を見る右の図のような，平行四辺形ABCDがあり，∠BADは鈍角である．辺BCをCの方に延長した直線上にBD=BEとなる点Eをとる。 ∠ABD=20°, ∠DCE=60°であるとき，∠CEDの大きさは何度か。 （2024年香川県公立高校入試問題）
==二等辺三角形：基本 ★ ==
問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す
（解説１）右図の三角形BEDにおいて ∠DBE=40°
∠BED=∠BDE
∠DBE+∠BED+∠BDE=180°
∠BED=(180°−40°)÷2=70° ···（答） |
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【問題】
解答を見る右の図のように，AB=ACである二等辺三角形ABCがある。また，頂点Aを通る直線lと，頂点Cを通る直線mがあり，lとmは平行である。このとき，∠xの大きさを求めなさい。 （2024年佐賀県公立高校入試問題）
= 二等辺三角形：基本 ★ =
• AB=ACだから，二等辺三角形ABCの両底角∠Bと∠Cは等しい ∠B=∠C=∠yとおく
• △ABCの内角の総和は180°だから2∠y+54°=180°
∠y=(180°−54°)÷2=63°
• l∥mだから,∠x+54°+∠y+44°=180°
∠x+54°+63°+44°=180°
∠x=19°
（別解） 後半部分を次のように求めることができる• Bを通り，l, mに平行な直線を引くと ∠x+44°=∠y=63°
∠x=19°
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【問題】
解答を見る右の図のような△ABCにおいて，辺BC上に点Dをとったとき，AD=BD =CDとなった。 ∠ACB=35°のとき，∠xの大きさを求めなさい。 （2025年三重県公立高校入試問題）
= 二等辺三角形：基本 ★ =
• △ADCはAD=CDの二等辺三角形だから ∠CAD=∠ACD=35°
• △ADCにおいて，∠Dの外角は，他の2つの内角の和に等しいから∠ADB=70°
• △ABDはAD=BDの二等辺三角形だから∠DAB=∠x
• △ABDの内角の総和は180°だから2∠x+70°=180°
2∠x=110°
∠x=55° ···（答）
（別解）AD=BD=CDであるから，Dは三角形ABCの外接円の中心になる．さらに，BCが直径になるから，∠CAB=90°の直角三角形になる． ∠x=90°−35°=55° ···（答）
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【問題】
解答を見る右の図で，l∥mのとき，∠xの大きさを求めなさい。 （2024年山口県公立高校入試問題）
==平行線の同位角：基本 ★ ==
（解説１） l, mに平行線を1本追加して，76°の角度を２つに分ける
右図のように，l, mに平行な直線nを引く（同位角，錯角の性質が使いやすい形にする） 30°+∠x=76° ∠x=46° ···（答） |
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【問題】
解答を見る図２において，l∥mのとき，∠xの大きさは何度か。 （2025年長崎県公立高校入試問題B）
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【問題】
解答を見る右の図で，l∥mのとき，∠xの大きさを求めなさい。 （2023年青森県公立高校入試問題）
==平行線の同位角：基本 ★ ==
（解説１）
問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す
右図の赤で示した三角形の内角の和から，72°が求まり，その同位角から，直線lとなす角も72°となる． 青で示した三角形の1つの外角72°は，それと隣り合わない２つの内角の和に等しいから 25°+∠x=72° ∠x=72°−25°=47°···（答） |
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【問題】
解答を見る右の図のような平行四辺形ABCDがあり，BEは∠ABCの二等分線である。∠xの大きさを求めなさい。 （2023年富山県公立高校入試問題）
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【問題】
解答を見る右の図のように，△ABCがあり，点Dは辺BC上にある．AB=12cm, AC=8cm, CD=6cm, ∠ABC=∠DACのとき，線分ADの長さを求めなさい。 （2023年秋田県公立高校入試問題）
==相似図形：基本 ★ ==
（解説１）
2つの△ABCと△DACについて，
△ABCと△DACについて，「２組の角がそれぞれ等しい」とき，これらの三角形は相似である ∠ABC=∠DAC (赤で示した角)
∠BCA=∠ACD (共通：青で示した角)
だから，△ABC∽△DACしたがって ∠BAC=∠ADC (緑で示した角)
順序が重要 12:8=AD:6
8AD=12×6
\( \displaystyle \mathrm{AD}=\frac{12\times 6}{8}=9\hspace{3px}(cm) \) ···（答）
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【問題】
解答を見る右の図の四角形において，∠xの大きさを求めなさい。 （2025年群馬県公立高校入試問題）
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【問題】
解答を見る図2で，∠xの大きさを求めよ。 （2025年奈良県公立高校入試問題）
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【問題】
解答を見る右の［図］において，∠xの大きさを求めなさい。 （2024年大分県公立高校入試問題）
==外角：基本 ★ ==
問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す
（解説１）右図の青色の三角形ABEにおいて Eの外角106°は，他の2つの内角の和に等しいから 28°+A=106° B=78° 右図の赤色の三角形BCDにおいて Bの外角78°は，他の2つの内角の和に等しいから 43°+∠x=78° ∠x=35° ···（答） （※ 三角形の内角の和は180°ということから，∠AEB, ∠DBCを求めていっても解ける） |
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【問題】
解答を見る右の［図］において，∠xの大きさを求めなさい。 （2025年大分県公立高校入試問題）
==外角：基本 ★ ==
問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す
（解説）• 右図の緑色で描いた三角形ABCの内角の総和を考える • 赤色で描いた三角形について，∠Bの外角は，他の2つの内角の和に等しいから 45°+36°=81°：ABCの内角∠B
• 青色で描いた三角形について，∠Cの外角は，他の2つの内角の和に等しいから32°+31°=63°：ABCの内角∠C
• 緑色で描いた三角形ABCの内角の総和は∠x+81°+63°=180°
∠x=36° ···（答）
（参考） 一般に，五角形の星芒形（五芒星）の頂角の和は180°になる。 しかし，六角形の星芒形（ダビデの星，六芒星）の頂角の和は180°ではなく360°になります。 結果を覚えるのではなく，求め方（外角を使った計算方法）に慣れるようにしましょう。 |