三角形,平行線,外角の高校入試問題(2)

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【問題】
　右の図のように，∠C=90°, ∠D=120°の四角形ABCDがある。同じ印をつけた角の大きさが等しいとき，∠xの大きさを求めなさい。

（2023年徳島県公立高校入試問題）

== 三角形・四角形の内角の和：基本 ★ ==
三角形の内角の総和は，180°である
四角形の内角の総和は，360°である

右図の四角形ABCDの内角の総和は，360°であるから

2∠y+2∠z+120°+90°=360°

2∠y+2∠z=150°

∠y+∠z=75°

右図の三角形ABEの内角の総和は，180°であるから

∠x+(∠y+∠z)=180°

∠x=180°−75°=105°···（答）

中学校の教科書で，図の中はxと書き，式の中は∠xと書くようです

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【問題】
　図2で，l∥mのとき，∠xの大きさは何度か，求めなさい。

（2024年兵庫県公立高校入試問題）

== 平行線の同位角，錯角：基本 ★ ==

⇒問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す
（解説１）
　右図の赤で示した三角形ABCの内角の和が180°になることを使って，∠xを求める．
　そのとき，l∥mという条件から，∠xの錯角が∠ACB=∠xとなることを使う．
　A=120°，B=20°だからA+B+∠x=180°により
∠x＝40°
　40度 ···（答）

「三角形の外角は，これと隣り合わない2つの内角の和に等しい」という定理を使って
「Aの外角60°は20°+∠x」から，∠x＝40°としてもよい

（解説２）
　右図の青で示した三角形PQRの内角の和が180°になることを使って，∠xを求めてもよい．
　その場合に，l∥mという条件は，平行線の同位角として，Pの外角が60°に等しいという形で使われる．

◎はっきり言えば
（解説１）の方が分かりやすい
（∵）図が「ゆったりと大きく見える方」が，見やすいから
見やすい≡間違いが少ない

　P+Q+∠x=180°により
∠x＝40°
　40度 ···（答）
解説１と同様に，三角形の外角で考える答案もできる．
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【問題】
　右の図のように，正方形ABCD，正三角形PQRがある。このとき，∠xの大きさを求めなさい。

（2025年秋田県公立高校入試問題）

== 平行線の同位角，錯角：基本 ★ ==

▼正方形，正三角形
⇒ 衣装が多過ぎて，見方がわからん
◎正方形 ⇒ AD∥BCだけを使う
◎正三角形 ⇒ ∠Q=60°だけを使う

•　Qを通り，AD, BCに平行な直線を引くと，平行線の錯角により，25°と∠xに等しい角ができる

∠x+25°=60°

∠x=35°

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【問題】
　右の図のような，平行四辺形ABCDがあり，∠BADは鈍角である．辺BCをCの方に延長した直線上にBD=BEとなる点Eをとる。
　∠ABD=20°, ∠DCE=60°であるとき，∠CEDの大きさは何度か。

（2024年香川県公立高校入試問題）

==二等辺三角形：基本 ★ ==

問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す

（解説１）
右図の三角形BEDにおいて

∠DBE=40°

∠BED=∠BDE

∠DBE+∠BED+∠BDE=180°

∠BED=(180°−40°)÷2=70° ···（答）
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【問題】
　右の図のように，AB=ACである二等辺三角形ABCがある。また，頂点Aを通る直線lと，頂点Cを通る直線mがあり，lとmは平行である。このとき，∠xの大きさを求めなさい。

（2024年佐賀県公立高校入試問題）

= 二等辺三角形：基本 ★ =
•　AB=ACだから，二等辺三角形ABCの両底角∠Bと∠Cは等しい

∠B=∠C=∠yとおく

•　△ABCの内角の総和は180°だから

2∠y+54°=180°

∠y=(180°−54°)÷2=63°

•　l∥mだから,

∠x+54°+∠y+44°=180°

∠x+54°+63°+44°=180°

∠x=19°

（別解）　後半部分を次のように求めることができる
•　Bを通り，l, mに平行な直線を引くと

∠x+44°=∠y=63°

∠x=19°

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【問題】
　右の図のような△ABCにおいて，辺BC上に点Dをとったとき，AD=BD =CDとなった。
　∠ACB=35°のとき，∠xの大きさを求めなさい。

（2025年三重県公立高校入試問題）

= 二等辺三角形：基本 ★ =
•　△ADCはAD=CDの二等辺三角形だから

∠CAD=∠ACD=35°

•　△ADCにおいて，∠Dの外角は，他の2つの内角の和に等しいから

∠ADB=70°

•　△ABDはAD=BDの二等辺三角形だから

∠DAB=∠x

•　△ABDの内角の総和は180°だから

2∠x+70°=180°

2∠x=110°

∠x=55° ···（答）

（別解）
AD=BD=CDであるから，Dは三角形ABCの外接円の中心になる．さらに，BCが直径になるから，∠CAB=90°の直角三角形になる．

∠x=90°−35°=55° ···（答）

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【問題】
　右の図で，l∥mのとき，∠xの大きさを求めなさい。

（2024年山口県公立高校入試問題）

==平行線の同位角：基本 ★ ==
（解説１）

l, mに平行線を1本追加して，76°の角度を２つに分ける
（同位角，錯角の性質が使いやすい形にする）

右図のように，l, mに平行な直線nを引く
　30°+∠x=76°
　∠x=46° ···（答）
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【問題】
　図２において，l∥mのとき，∠xの大きさは何度か。

（2025年長崎県公立高校入試問題B）

l, mに平行線を1本追加して，同位角の性質が使いやすい形にする

右図で，∠x+20°は，その同位角42°と等しいから
　∠x=22° ···（答）
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【問題】
　右の図で，l∥mのとき，∠xの大きさを求めなさい。

（2023年青森県公立高校入試問題）

==平行線の同位角：基本 ★ ==
（解説１）

問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す

　右図の赤で示した三角形の内角の和から，72°が求まり，
その同位角から，直線lとなす角も72°となる．
　青で示した三角形の1つの外角72°は，それと隣り合わない２つの内角の和に等しいから
　25°+∠x=72°
　∠x=72°−25°=47°···（答）
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【問題】
　右の図のような平行四辺形ABCDがあり，BEは∠ABCの二等分線である。∠xの大きさを求めなさい。

（2023年富山県公立高校入試問題）

•　AB∥DCだから，∠ABC=180°−100°=80°
•　∠EBC=∠ABC÷2だから，∠EBC=40°
•　AD∥BCだから，∠x=180°−∠EBC=140°···（答）
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【問題】
　右の図のように，△ABCがあり，点Dは辺BC上にある．AB=12cm, AC=8cm, CD=6cm, ∠ABC=∠DACのとき，線分ADの長さを求めなさい。

（2023年秋田県公立高校入試問題）

==相似図形：基本 ★ ==
（解説１）

2つの△ABCと△DACについて，
「２組の角がそれぞれ等しい」とき，これらの三角形は相似である

△ABCと△DACについて，

∠ABC=∠DAC　(赤で示した角)

∠BCA=∠ACD　(共通：青で示した角)

だから，△ABC∽△DAC
したがって

∠BAC=∠ADC　(緑で示した角)

順序が重要

そこで，角の色が赤→緑→青の順になるように辺の長さの比を対応させると

12:8=AD:6

8AD=12×6

\( \displaystyle \mathrm{AD}=\frac{12\times 6}{8}=9\hspace{3px}(cm) \) ···（答）

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【問題】
　右の図の四角形において，∠xの大きさを求めなさい。

（2025年群馬県公立高校入試問題）

多角形の外角の和は360°である

90°+50°+105°+(180°−∠x)=360°
∠x=70° ···（答） →解説を隠す←

【問題】
　図2で，∠xの大きさを求めよ。

（2025年奈良県公立高校入試問題）

多角形の外角の和は360°である

∠x+62°+78°+65°+85°=360°
∠x=70° ···（答）
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【問題】
　右の［図］において，∠xの大きさを求めなさい。

（2024年大分県公立高校入試問題）

==外角：基本 ★ ==

問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す

（解説１）
　右図の青色の三角形ABEにおいて
Eの外角106°は，他の2つの内角の和に等しいから
　28°+A=106°
　B=78°
　右図の赤色の三角形BCDにおいて
Bの外角78°は，他の2つの内角の和に等しいから
　43°+∠x=78°
　∠x=35° ···（答）
（※ 三角形の内角の和は180°ということから，∠AEB, ∠DBCを求めていっても解ける） →解説を隠す←

【問題】
　右の［図］において，∠xの大きさを求めなさい。

（2025年大分県公立高校入試問題）

==外角：基本 ★ ==

問題文に書かれた条件を集約できる１つの三角形を探す

（解説）
•　右図の緑色で描いた三角形ABCの内角の総和を考える
•　赤色で描いた三角形について，∠Bの外角は，他の2つの内角の和に等しいから

45°+36°=81°：ABCの内角∠B

•　青色で描いた三角形について，∠Cの外角は，他の2つの内角の和に等しいから

32°+31°=63°：ABCの内角∠C

•　緑色で描いた三角形ABCの内角の総和は

∠x+81°+63°=180°

∠x=36° ···（答）

（参考）
　一般に，五角形の星芒形（五芒星）の頂角の和は180°になる。
　しかし，六角形の星芒形（ダビデの星，六芒星）の頂角の和は180°ではなく360°になります。
　結果を覚えるのではなく，求め方（外角を使った計算方法）に慣れるようにしましょう。 →解説を隠す←