♪♥♫♦∀== 難易などの目安 ==∳♣♬∅♠
《考え方》
　　基本★，普通★★，難しい★★★
《計算量》
　　少ない☆，普通☆☆，多い☆☆☆

◆三角形の角の二等分線と比◆
　△ABCにおいて，∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると
　　AB:AC=BD:DC
が成り立つ。

　初めて聞いた人は，DがBCの中点になるのかと思うかもしれませんが，そうはなりません。この定理の通り，AB:ACの比に分けられます。

【問題1】
　図1のように，円周上に4点A, B, C, Dをとる。このとき，∠xの大きさを求めなさい。

（解答）
　∠BACと∠BDCは，同じ弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}\) の円周角であるから等しい．
∠BAC=24°
　次に，△BAEにおいて，「三角形の１つの外角は，それと隣り合わない2つの内角の和に等しい」から
　∠x=48°+24°=72°…（答）
　…（答）
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【問題2】
　右の図の円Oで，∠xの大きさを求めなさい。

（解答）
　右の図において，ピンク色で示した角度は，同じ弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{PQ}}\) の円周角であるから等しい．
　次に，水色で示した三角形の内角の和が180°であることから
∠x+87°+62°=180°
∠x=31°…（答）
→解説を隠す←

【問題3】
　右の図において、点C, D, Eは，ABを直径とする円Oの周上の点である。また， \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}\) である。
　∠CAB=57°のとき，∠xの大きさを求めなさい。

（解答）
　ABが直径だから，∠ACB=90°，∠ABC=33°
　弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}\) の上に立つ円周角は等しいから，∠AEC=33°
　さらに， \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}\) であるから，∠AED=33°
　∠x=33°+33°=66°…（答）
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【問題4】
　右の図のように，円Oの円周上に3点A, B, Cをとります。∠BACの二等分線と線分BCとの交点をDとします。
　次の問いに答えなさい。
問１　AD=CD, ∠BAD=35°のとき，∠ADCの大きさを求めなさい。
問２　略

（解答）
　ADは∠BACの二等分線だから
∠BAD=∠CAD=35°
　次に，△ADCはAD=CDの二等辺三角形だから
∠ACD=∠CAD=35°
　△ADCの内角の和は180°だから
∠ADC=180°−(35°+35°)=110°…（答）
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【問題5】
　右の図で，6点A, B, C, D, E, Fは，円Oの周上の点であり，線分AEと線分BFは円Oの直径である。点C，点Dは \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BE}}\) を3等分する点である。
　∠AOB=42°のとき，∠xの大きさを求めなさい。

（解答）
（考え方１）：中心角∠BOCを求めると，その半分として円周角∠xが求まる
　∠BOC=∠COD=∠DOEで
∠BOC+∠COD+∠DOE+42°
=180°だから
∠BOC=(180°−42°)÷3=46°
∠x=∠BOC÷2=23°…（答）
（考え方２）：△OEFにおいて，∠FOEは対頂角∠AOB=42°に等しい
　また，△OEFは，OE=OFの二等辺三角形だから，∠OEF=∠OFE
　 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CD}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{DE}}\) だから，その円周角は等しい
∠BFC=∠CFD=∠DFE=∠x
　△OEFの内角の和は180°だから
3∠x+3∠x+42°=180°
6∠x=138°
∠x=23°…（答） →解説を隠す←

【問題6】
　右の図のような，線分ABを直径とする円Oがあり，円周上に2点A, Bと異なる点Cをとる。線分AB上に，2点A, Bと異なる点Dをとる。2点C, Dを通る直線と円Oとの交点のうち，点Cと異なる点をEとする。点Aと点C，点Bと点Eをそれぞれ結ぶ。
　∠BCE=35°, ∠ADC=60°であるとき，∠BECの大きさは何度か。

（解答）
　∠BECと∠BACとは，弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}\) の上に立つ円周角だから，それらの角度は等しい。
　そこで，∠BACを求める。
　線分ABは直径だから，∠ACB=90°
　∠ACD=90°−35°=55°…(1)
　また，問題の仮定により，∠ADC=60°…(2)
　△ADCの内角の和は180°だから，(1),(2)により
　∠DAC=∠BAC=180°−(55°+60°)=65°…（答） →解説を隠す←

【問題7】
　右の図のように，円Oの円周上に3点A, B, Cをとり，△ABCをつくる。
　∠ABCの二等分線と線分AC，円Oとの交点をそれぞれD, Eとし，線分AEをひく。点Dを通り線分ABと平行な直線と線分AE, BCとの交点をそれぞれF, Gとする。
　このとき，あとの各問いに答えなさい。
　ただし，点Eは点Bと異なる点とする。
(1)　△ABD∽△DAFであることを証明しなさい。
(2)　AD=6 cm, DF=3 cm, BC=10 cmのとき，次の各問いに答えなさい。
�@　線分ABの長さを求めなさい。
�A　線分DGの長さを求めなさい。

（解答）
★★, ☆☆ (1)　△ABDと△DAFについて

• AB∥FDだから錯角∠ADFと∠DABは等しい
• 弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CE}}\) の上に立つ円周角は等しいから
  ∠EAC=∠EBC
  また，BEは∠ABCの二等分線だから∠ABD=∠EBC
  したがって，∠EAD=∠ABD
  

2つの三角形で，2組の角がそれぞれ等しいから，△ABD∽△DAF…（証明終）
(2)
�@　(1)の結果からAB=xとおくと
x:AD=AD:DF
x:6=6:3
3x=36
x=12 (cm)…（答）
�A　BEは∠ABCの二等分線だからAB:BC=AD:DC
12:10=6:DC
12DC=60
DC=5
次に，AB∥FDだからDG=lとおくとAB:AC=l:DC
12:(6+5)=l:5
11l=60
\(\displaystyle l=\frac{60}{11}\hspace{5px}(cm)\)…（答） →解説を隠す←

【問題8】
　図�Tのように，線分ABを直径とする円Oの円周上に点Cをとり，△ABCをつくる。∠Cの二等分線と辺ABとの交点をDとする。
　このとき，次の1, 2の問いに答えなさい。
1　∠CAB=25°のとき，∠CDBの大きさを求めなさい。
2　図�Uは，図�Tにおいて，線分CDを延長した直線と円Oとの交点をEとし，線分BE上にCB∥DFとなる点Fをとったものである。
　AC=6 cm, BC=3 cmとするとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　△BCD∽△DBFであることを証明しなさい。
(2)　線分DBの長さを求めなさい。
(3)　△DEFの面積を求めなさい。

（解答）
★, ☆ 1　ABは直径だから，∠C=90°
　CDは∠Cの二等分線だから，∠DCA=45°
　「三角形の１つの外角は，それと隣り合わない2つの内角の和に等しい」から
　∠CDB=∠CAD+∠DCA=25°+45°=70°…（答）
2
★, ☆ (1)　△BCDと△DBFについて

• CB∥DFだから∠CBD=∠FDB
• ∠BCD=∠ACD（仮定による）
  ∠ACD=∠DBF（AEの円周角）だから
  ∠BCD=∠DBF

2組の角がそれぞれ等しいから，△BCD∽△DBF…（証明終）
★★, ☆☆ (2)　ABは直径だから，∠C=90°で，三平方の定理により
\({\rm AC^2+CB^2=AB^2 }\)
\({\rm 6^2+3^2=AB^2 }\)
\({\rm AB^2}=36+9=45\)
\({\rm AB}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)
次に，CDは∠Cの二等分線だから
\({\rm AD:DB=AC:CB}=6:3=2:1\)
\({\rm DB}=\sqrt{5}\)…（答）
★★★, ☆☆☆ (3)　△DEF, △BCD, △DBFの面積をそれぞれx, S, Tとおくと
\(\displaystyle{\rm \triangle ABC}=\frac{6\times 3}{2}=9\)
\(\displaystyle S={\rm \frac{\triangle ABC}{3}}=3\)
次に，\({\rm DF}\)の長さを求める
\(\displaystyle {\rm CB:DB=DB:DF}\)
\(\displaystyle {\rm 3:\sqrt{5}=\sqrt{5}:DF}\)
\(\displaystyle {\rm 3DF}=5\)
\(\displaystyle {\rm DF}=\frac{5}{3}\)
さらに，\(T\)を求める
\(\displaystyle S:T=3^2:(\sqrt{5})^2=9:5\)
\(\displaystyle T=\frac{5}{9}S=\frac{5}{3}\)
面積比は相似比の2乗比だから
\(\displaystyle x:(x+T+S)=(\frac{5}{3})^2:3^2=\frac{25}{9}:9=25:81\)
\(\displaystyle x:(x+\frac{5}{3}+3)=25:81\)
\(\displaystyle 81x=25(x+\frac{14}{3})\)
\(\displaystyle 56x=25\times\frac{14}{3}\)
\(\displaystyle x=\frac{25\times 14}{3\times 56}=\frac{25}{12}\)…（答）
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【問題9】
　右の図のように，円Oの周上に5点A, B, C, D Eがこの順にあり，線分ACと線分BEは円Oの直径である。また，AE=4 cmで，∠ABE=30°, ∠ACD=45°である。線分ADと線分BEとの交点をFとする。
　このとき，次の問い(1)〜(3)に答えよ。
(1)　円Oの直径を求めよ。
(2)　線分EFの長さを求めよ。
(3)　線分ACと線分BDとの交点をGとするとき，△OBGの面積を求めよ。

（解答）
★, ☆ (1)　BEは円Oの直径であるから，∠EAB=90°
　さらに，∠ABE=30°であるから，∠BEA=60°
　したがって，\({\rm AB=4\sqrt{3}(cm),}\)
直径は，\(\hspace{2px}{\rm BE=8\hspace{2px}(cm)}\)…（答）
★★, ☆☆ (2)　OA=OB（半径）だから，
△OABは二等辺三角形で，∠OBA=∠OAB=30°
また，∠ACD=45°だから，∠CAD=45°
さらに，∠BAF=75°，∠BFA=180°−(75°+30°)=75°
したがって，\({\rm BF=BA=4\sqrt{3}}\)
\({\rm EF=8-4\sqrt{3}}\hspace{2px}(cm)\)…（答）
★★★, ☆☆☆ (3)　右図の△OBG, △EAFについて

• AE=BO=4 (cm)
• ∠AEF=60°
  ∠BOG=2∠BAO=60°
• ∠EAF=∠OBG（弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{ED}}\) の上に立つ円周角）

二角とその間の辺がそれぞれ等しいから，△OBG≡△EAF
そこで，△EAFの面積\(S\)を求める
(2)の結果から，\({\rm EF=8-4\sqrt{3}}\hspace{2px}(cm)\)
正三角形△OEAの高さは，\(2\sqrt{3}\hspace{2px}(cm)\)
\(\displaystyle S=\frac{(8-4\sqrt{3})\times 2\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}-12\hspace{2px}(cm^2)\)…（答）
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【問題10】
　図9において，4点A, B, C, Dは円Oの円周上の点であり，△ABCはBA=BCの二等辺三角形である。ACとBDとの交点をEとし，点Eを通りADに平行な直線とCDとの交点をFとする。また，BD上にGC=GDとなる点Gをとる。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　△BCG∽△ECFであることを証明しなさい。
(2)　GC=4 cm, BD=6 cm, CF=2 cmのとき，GEの長さを求めなさい。

（解答）
★, ☆☆ (1)　△BCGと△ECFについて

• AD∥EFで∠FECと∠DAEは同位角だから等しい
  また，∠DAEと∠GBCは同一の弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CD}}\) の上に立つ円周角だから等しい。
  したがって，∠FEC=∠GBC
• ∠BACと∠BDCは同一の弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}\) の上に立つ円周角だから等しい。
  また，∠BACと∠BCAは，BA=BCの二等辺三角形△ABCの2つの底角だから等しい
  さらに，∠BDCと∠GCDは，GC=GDの二等辺三角形△GCDの2つの底角だから等しい
  したがって，
  ∠FCE=∠GCD−∠GCE
  =∠BCA−∠GCE=∠GCB

2つの三角形で，2組の角がそれぞれ等しいから，△BCG∽△ECF…（証明終）
★★★, ☆☆☆ (2)　(1)の結果により，CF:FE=CG:GB
2:FE=4:2
FE=1
さらに，以下のようにして，FE=FD=1が示せる
∠FDE=∠CAB（円周角）
∠CAB=∠BCA（二等辺三角形の底角）
∠FED=∠ADE（平行線の錯角）
∠ADE=∠BCA（円周角）
により，∠FDE=∠FED
さらに，∠FDE=∠GCDだから
△FED∽△GCD
FD:DE=GC:CD
1:DE=4:3
\(\displaystyle {\rm DE}=\frac{3}{4}\)
\(\displaystyle {\rm GE}=4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}\hspace{2px}(cm)\)…（答）
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