分数係数の方程式

== 分数係数の方程式 ==
【例題１】　次の方程式を解いてください．

$\frac{x+ 1}{2}=\frac{x+ 2}{3}$

（解答）
分母2と3の最小公倍数は6だから，両辺に6を掛けて分母を払う
$6\times\frac{x+ 1}{2}=6\times\frac{x+ 2}{3}$
$3(x+ 1)=2(x+ 2)$
かっこをはずす
$3x+ 3=2x+ 4$
右辺の $2x$ を左辺に移項し，左辺の $3$ を右辺に移項する
$3x-2x=4-3$
$x=1$ …(答)
【例題２】　次の方程式を解いてください．

$\frac{x-2}{4}+ 1=\frac{2x+ 1}{3}$

（解答）
分母4と3の最小公倍数は12だから，両辺に12を掛けて分母を払う
このとき，整数1にも12を掛けなければならないことに注意しましょう
$12\times\frac{x-2}{4}+ 12\times 1=12\times\frac{2x+ 1}{3}$
$3(x-2)+ 12=4(2x+ 1)$
かっこをはずす
$3x-6+ 12=8x+ 4$
$3x+ 6=8x+ 4$
右辺の $8x$ を左辺に移項し，左辺の $6$ を右辺に移項する
$3x-8x=4-6$
$-5x=-2$
両辺を-5で割る
$x=\frac{2}{5}$ …(答)

（参考）生成ＡＩを使った場合の答案
（筆者個人の感想：2025.03.10現在）
　ChatGTP, Copilot, Geminiに，次の①～⑤のような形で質問をすると，どれでも途中経過付きの答案が得られる．

	質問の文章	備考
①	(x-1)/2=(x+1)/3	割り算の記号をスラッシュ（/）で表し，方程式だけを書いたもの
②	\frac{x-1}{2}=\frac{x+1}{3}	分数をTeXの記号で表し，方程式だけを書いたもの

※①②のどちらの書き方でも結果は変わらないので，以下の文章では①の結果だけを示す．

③	(x-1)/2=(x+1)/3を解け	方程式からスペースを開けずに「を解け」という形で，依頼内容を書く
④	(x-1)/2=(x+1)/3を解いてください	依頼文を「解いてください」という形で，ていねいに書く
⑤	次の方程式の解を求めよ． (x-1)/2=(x+1)/3	依頼の文章を独立させて書き，次に方程式を別の文で書く

※ただし，Geminiに「同じ質問を2回以上行う」と，2回目以降は「この機能はサポートされていません」という回答に変わる．
　また，Geminiで「方程式(x-1)/2=(x+1)/3を解け」という尋ね方では，方程式という単語と(x-1)/2=(x+1)/3の式の関係を，大規模言語モデルとして決めにくいのか（方程式，すなわち(x-1)/2=(x+1)/3という言い方が，一般にあまり使われないのか？），「この機能はサポートされていません」という回答が寄せられることがある．
　ChatGTPに，何度も質問すると，次回は何時間後というメッセージが示され，より古いモデルの生成ＡＩに切り替わるようである．

　上記の①②は，方程式なので依頼する文章が欠けていても「解いてほしい」と推測することができるが，
(x+1)(x−2)−4という「多項式」だけが入力された場合，展開してほしいのか，因数分解してほしいのか，生成ＡＩとして判断しかねる（質問が明確でない，質問の仕方が不適当）と考えられるが，実際に返される答案は
　ChatGTP ⇒ 展開のみ
　Copilot ⇒ 展開のみ
　Gemini ⇒ 展開と因数分解の両方

　通常，中学生向けの問題は記述式ですが，ｗｅｂ画面上で入力方式にすると操作が煩わしくなり思考が中断しやすいので，ここでは選択式にしています
　選択式と言っても「あてもん」ではないので，計算用紙などを使って十分考えてから選んでください．暗算では無理です．

【問題１】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\frac{x-1}{2}=\frac{x+ 1}{3}$

解説やり直す

$x=2$ $x=3$ $x=4$ $x=5$

分母2と3の最小公倍数は6だから，両辺に6を掛けて分母を払う
$6\times\frac{x-1}{2}=6\times\frac{x+ 1}{3}$
$3(x-1)=2(x+ 1)$
かっこをはずす
$3x-3=2x+ 2$
右辺の $2x$ を左辺に移項し，左辺の $-3$ を右辺に移項する
$3x-2x=2+ 3$
$x=5$ …(答)

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(2)
$\frac{2x+ 1}{3}=\frac{x+ 4}{5}$

解説やり直す

$x=1$ $x=2$ $x=3$ $x=4$

分母3と5の最小公倍数は15だから，両辺に15を掛けて分母を払う
$15\times\frac{2x+ 1}{3}=15\times\frac{x+ 4}{5}$
$5(2x+ 1)=3(x+ 4)$
かっこをはずす
$10x+ 5=3x+ 12$
右辺の $3x$ を左辺に移項し，左辺の $5$ を右辺に移項する
$10x-3x=12-5$
$7x=7$
$x=1$ …(答)

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(3)
$\frac{x-3}{2}+ 1=\frac{x+ 1}{4}$

解説やり直す

$x=1$ $x=2$ $x=3$ $x=4$

分母2と4の最小公倍数は4だから，両辺に4を掛けて分母を払う
このとき，整数1にも4を掛けなければならないことに注意しましょう
$4\times\frac{x-3}{2}+ 4\times 1=4\times\frac{x+ 1}{4}$
$2(x-3)+ 4=x+ 1$
かっこをはずす
$2x-6+ 4=x+ 1$
$2x-2=x+ 1$
右辺の $x$ を左辺に移項し，左辺の $-2$ を右辺に移項する
$2x-x=1+ 2$
$x=3$ …(答)

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(4)
$\frac{2x+ 3}{4}=\frac{1-2x}{6}+ 1$

解説やり直す

$x=\frac{1}{4}$ $x=\frac{1}{3}$ $x=\frac{1}{2}$ $x=\frac{3}{2}$

分母4と6の最小公倍数は12だから，両辺に12を掛けて分母を払う
このとき，整数1にも12を掛けなければならないことに注意しましょう
$12\times\frac{2x+ 3}{4}=12\times\frac{1-2x}{6}+ 12\times 1$
$3(2x+ 3)=2(1-2x)+ 12$
かっこをはずす
$6x+ 9=2-4x+ 12$
$6x+ 9=-4x+ 14$
右辺の $-4x$ を左辺に移項し，左辺の $9$ を右辺に移項する
$6x+ 4x=14-9$
$10x=5$
両辺を10で割る
$x=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ …(答)

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【問題２】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$2+ \frac{2x-4}{3}=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$

解説やり直す

$x=1$ $x=2$ $x=3$ $x=4$

分母2,3,4の最小公倍数は12だから，両辺に12を掛けて分母を払う
$12\times 2+ 12\times \frac{2x-4}{3}=12\times \frac{3}{4}x+ 12\times \frac{1}{2}$
$24+ 4(2x-4)=9x+ 6$
かっこをはずす
$24+ 8x-16=9x+ 6$
$8x+ 8=9x+ 6$
右辺の $9x$ を左辺に移項し，左辺の $8$ を右辺に移項する
$8x-9x=6-8$
$-x=-2$
両辺を−1で割る
$x=2$ …(答)

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(2)
$1-\frac{3x-1}{2}=\frac{1-4x}{3}+\frac{3}{2}$

解説やり直す

$x=1$ $x=2$ $x=-1$ $x=-2$

分母2,3の最小公倍数は6だから，両辺に6を掛けて分母を払う
$6\times 1-6\times \frac{3x-1}{2}=6\times \frac{1-4x}{3}+ 6\times \frac{3}{2}$
$6-3(3x-1)=2(1-4x)+ 9$
かっこをはずす
$6-9x+ 3=2-8x+ 9$
$-9x+ 9=-8x+ 11$
右辺の $-8x$ を左辺に移項し，左辺の $9$ を右辺に移項する
$-9x+ 8x=11-9$
$-x=2$
両辺を−1で割る
$x=-2$ …(答)

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(3)
$-\frac{2x-1}{3}+\frac{2(x-1)}{5}=\frac{x-3}{6}$

解説やり直す

$x=1$ $x=2$ $x=-1$ $x=-2$

分母3,5,6の最小公倍数は30だから，両辺に30を掛けて分母を払う
$30\times (-\frac{2x-1}{3})+ 30\times \frac{2(x-1)}{5}=30\times \frac{x-3}{6}$
$-10(2x-1)+ 12(x-1)=5(x-3)$
かっこをはずす
$-20x+ 10+ 12x-12=5x-15$
$-8x-2=5x-15$
右辺の $5x$ を左辺に移項し，左辺の $-2$ を右辺に移項する
$-8x-5x=-15+ 2$
$-13x=-13$
両辺を−13で割る
$x=1$ …(答)

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(4)
$\frac{3-x}{2}-\frac{2(x+ 2)}{3}=\frac{2x+ 1}{6}$

解説やり直す

$x=0$ $x=1$ $x=2$ $x=3$

分母2,3,6の最小公倍数は6だから，両辺に6を掛けて分母を払う
$6\times \frac{3-x}{2}-6\times \frac{2(x+ 2)}{3}=6\times \frac{2x+ 1}{6}$
$3(3-x)-4(x+ 2)=2x+ 1$
かっこをはずす
$9-3x-4x-8=2x+ 1$
$-7x+ 1=2x+ 1$
右辺の $2x$ を左辺に移項し，左辺の $1$ を右辺に移項する
$-7x-2x=1-1$
$-9x=0$
両辺を−9で割る
$x=0$ …(答)

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