♪♥♫♦∀== 難易などの目安 ==∳♣♬∅♠
《考え方》
　　基本★，普通★★，難しい★★★
《計算量》
　　少ない☆，普通☆☆，多い☆☆☆

◆三角形の角の二等分線と比◆
　△ABCにおいて，∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると
　　AB:AC=BD:DC
が成り立つ。

　初めて聞いた人は，DがBCの中点になるのかと思うかもしれませんが，そうはなりません。この定理の通り，AB:ACの比に分けられます。

【問題1】
　右の図のように，円Oの円周上に３つの点A, B, Cがある。∠ABO=40°であるとき，∠xの大きさを答えなさい。

★, ☆ （考え方1）
•Oが円の中心だから，OA=OB（=半径）
　�@=40°
•△OABの内角の和は180°だから
　�@+�A+40°=180°
　�A=100°
•弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AB}}\)の中心角が�Aだから，円周角∠xは，その半分
　∠x=50°…（答）
→解説を隠す←

【問題2】
　右の図のように，点Oを中心，線分BCを直径とする円がある。この円周上に3点A, D, Eがあり，線分DEは点Oを通り，線分ACと平行である。
　このとき，∠BAEの大きさを求めなさい。

★★, ☆ •BCが直径だから
　∠BAC=90°
•さらに，DE∥ACだから
　∠BDE=90°
•△OBDは直角三角形だから
　∠DOB=40°
•円周角∠BAE=xに対応する中心角は，∠BOE=2xだから
　2x+40°=180°
　x=70°…（答）
→解説を隠す←

★★, ☆ •AE∥BDにより，平行線の錯角は等しいから
　∠FAG=∠DGA
　64°+�@=95°
　�@=31°
•同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}\)に対する円周角は等しいから
　�A=�@=31°…（答）
→解説を隠す←

【問題4】
　右の図1で，2点A, Cは線分BDを直径とする円Oの周上の点である。また，\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CD}}\)である。線分BAを点Aの方向に延長した直線と，線分CDを点Dの方向に延長した直線の交点をEとする。
　∠ABD=29°のとき，∠AEDの大きさとして正しいものを，次のア〜オの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。
ア　16°　　イ　29°　　ウ　32°　　エ　42°　オ　58°

★, ☆ （考え方1）
•\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CD}}\)だから，円周角∠ABD=∠CBD
　�@=29°
•BDが直径だから，∠BCD=90°
　�A=90°−(29°+29°)=32°→ウ…（答）
（考え方2）
♪♫→多面的に別解を考える：思考力がUP←♬♠
•\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CD}}\)だから，円周角∠ABD=∠CBD
　�@=29°
•「円に内接する四辺形の向かい合う1組の内角の和は180°」だから
　∠ABC+∠CDA=180°
　58°+∠CDA=180°
　∠CDA=122°
　�B=58°
•BDは直径だから∠BAD=90°
　∠DAE=90°
　�A=90°−�B=32°→ウ…（答）
→解説を隠す←

【問題5】
　次のの中の「あ」「い」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　右の図2で，点Oは線分ABを直径とする円の中心であり，3点C, D, Eは円Oの周上にある点である。
　5点A, B, C, D, Eは右の図2のように，A, D, B, E, Cの順に並んでおり，互いに一致しない。
　点Bと点E，点Cと点D，点Dと点Eをそれぞれ結ぶ。
　線分CDが円Oの直径，\(\displaystyle \stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{5}\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AB}}\)のとき，xで示した∠BEDの大きさは あい 度である。

★, ☆ •\(\displaystyle \stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{5}\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AB}}\)だから
　�@=180°×\(\displaystyle\frac{2}{5}=72^{\circ}\)
•�Aは�@の対頂角だから，�@に等しい
　�A=72°
•xは中心角�Aに対応する円周角
　x=36°…（答）
→解説を隠す←

【問題6】
　右の図１において，∠xの大きさを求めなさい。
　ただし，4点A, B, C, Dは円周上の点であり，点Mは直線ACと直線BDの交点，点Nは直線ADと直線BCの交点である。

★, ☆☆ （考え方1）
•同一の弧\(\displaystyle \stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CD}}\)の円周角は等しいから
　�@=20°
•△BCMにおいて，∠Mの外角は，他の２つの内角の和に等しいから
　80°=20°+�A
　�A=60°
•�B=180°−60°=120°
•△ACNの内角の和は180°だから
　∠x+120°+20°=180°
　∠x=40°…（答）
（別解1） ♪♫→多面的に別解を考える：思考力がUP←♬♠
•右の図で△ABMの内角の和は180°だから
　�C+�D=100°
•△ABNの内角の和は180°だから
　�C+�D+40°+∠x=180°
したがって，
　100°+40°+∠x=180°
　∠x=40°…（答）
（裏技別解2）：生徒に教えても委員会??
問１の小問セット：あと1分で答えだけ書きたいとき
♠♣途中経過は秘密の答案 ♥♦
•�C+�D=100°
•�Cを40°ぐらいにしておくと，�Dは60°
　40°+60°+40°+∠x=180°
　∠x=40°
•�Cを50°にしておくと，�Dは50°
　50°+50°+40°+∠x=180°
　∠x=40°
どちらでも行けるから，∠x=40°…（答） →解説を隠す←

【問題7】
　図1において，点Oは線分ABを直径とする円の中心であり，3点C, D, Eは円Oの周上にある点である。5点A, B, C, D, Eは図1のように，A, D, B, E, Cの順で並んでいる。また，点D, O, Eは一直線上にあり，\(\displaystyle \stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CE}}\)である。
　このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1)　△ABC≡△EDCとなることを証明しなさい。
(2)　AB=8 cm, ∠ABC=18°のとき，点Aを含まない\(\displaystyle \stackrel{\huge\frown}{\mathrm{EB}}\)の長さを求めなさい。

★, ☆ •�@:∠ABC=18°
•�Aは�@に対する中心角だから
　�A=36°
•\(\displaystyle \stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CE}}\)だから
　�B=36°
•�A+�B+�C=180°だから
　�C=180°−(36°+36°)=108°
•弧の長さは中心角に比例するから
　108°:180°=\(x:4\pi\)
　\(180x=108\pi\)
　\(\displaystyle x=\frac{108\times 4}{180}\pi=\frac{12}{5}\pi\hspace{3px}(cm)\)…（答）
→解説を隠す←

【問題8】
　右の図のように，円Oの周上に5点A, B, C, D, Eがあり，線分AD, CEはともに円Oの中心を通る。
　∠CED=35°のとき，∠xの大きさを求めなさい。

★, ☆☆ （考え方1）
•ADは直径だから
　∠ABD=90°
•∠CEDと∠CBDとは，同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CD}}\)の上に立つ円周角だから
　�@=35°
•∠x=90°+35°=125°…（答）
（考え方2）
•CEは直径だから
　∠CBE=90°
•OE=OD=(半径)だから
　�@=35°
•�@の∠ADEと�Aの∠WBEとは，同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AE}}\)の円周角だから，等しい
　�A=35°
•∠x=90°+35°=125°…（答）
→解説を隠す←

【問題9】
　図で，A, B, C, Dは円周上の点で，線分ACは∠BADの二等分線である。また，Eは線分ACとBDとの交点である。
　∠DEC=86°, ∠BCE=21°のとき∠ABEの大きさは何度か，求めなさい。

★, ☆☆ （考え方1）
•�@の∠BDAと∠BCEとは，同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AB}}\)の円周角だから，等しい
　�@=21°
•△AEDにおいて「∠Eの外角は他の2つの内角の和に等しい」から
　86°=�@+�A
　�A=65°
•仮定により,「ACは∠BADの二等分線である」から
　�B=�A=65°
•△ABDの内角の和は180°だから
　x+�@+�A+�B=180°
　x+21°+65°+65°=180°
　x=29°…（答）
→解説を隠す←

【問題10】
　右の図のように，円Oの周上に4点A, B, C, Dをとり，直線ADと直線BCとの交点をPとします。∠CAD=22°, ∠ADB=57°のとき，∠APBの大きさxを求めなさい。

★, ☆☆ （考え方1）
•同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{DC}}\)の円周角，∠DACと�@は等しい
　�@=22°
•△BPDで∠Dの外角=�@+x
　57°=22°+x
　x=35°…（答）
（考え方2）
♪♫→多面的に別解を考える：思考力がUP←♬♠
•同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AB}}\)の円周角，∠ADBと�Aは等しい
　�A=57°
•△ACPで∠Cの外角=22°+x
　57°=22°+x
　x=35°…（答）
（別解裏技1）：生徒に教えても委員会??
　図を見ていると，直線BDが円の中心Oを微妙に通っているように見えるが??「BDを直径と考えても解けるか？」
※BDが直径であっても，なくても成り立つ結果は，BDが直径であっても成り立つ（逆は言えない）
　�@=22°
　�A=57°
BDが直径のとき
　�C=33°
　�B=33°
　x=90°−(�@+�B)=35°…（答）
（問1などの小問セットで穴埋め問題のときは，答えが合えばよい．大問で途中経過を文章化するときは，これではダメ）
（別解裏技2）：生徒に教えても委員会??
　図を見ていると，∠ABDと∠DBCが等しいようにも見えるが??「これらが等しい場合にも解けるか？」
※上記と同様にして，「一般の場合に成り立つ結果は，特別な場合にも成り立つ」
　�@=22°
　�A=57°
∠ABD=∠DBCのとき
　�B=22°
　�D=180°−(�@+�A+�B)=79°
　x=180°−(�@+�B+�D+22°)=35°…（答）
（問1などの小問セットで穴埋め問題のときは，答えが合えばよい．大問で途中経過を文章化するときは，これではダメ）
→解説を隠す←

【問題11】
　右の図で，4点A, B, C, D は円Oの周上の点であり，線分ABは円Oの直径である。このとき，∠xの大きさを求めなさい。

★, ☆☆ （考え方1）
•△ABEにおいて，「∠Eの外角は，他の2つの内角の和に等しい」から，�A+44°=80°
　�A=36°
•△ADCは，∠D=90°の直角三角形だから，�A+�B=90°
　�B=54°
•�Bとxは同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}\)の円周角だから等しい
　x=54°…（答）
（考え方2）
多面的に別解を考えると，思考力がUP
•△ABEにおいて，「∠Eの外角は，他の2つの内角の和に等しい」から，�A+44°=80°
　�A=36°
•�Aと�Eは同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{DC}}\)の円周角だから等しい
　�E=36°
•△ABCは，∠B=90°の直角三角形だから，�E+x=90°
　x=54°…（答）
（考え方3）
多面的に別解を考えると，思考力がUP
•△ADCは，∠D=90°の直角三角形だから，�@+44°=90°
　�@=46°
•�@と�Cは同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}\)の円周角だから等しい
　�C=46°
•�Dと80°とは対頂角だから等しい
　�D=80°
•△ABEの内角の和は180°
　�C+�D+x=180°
　46°+80°+x=180°
　x=54°…（答）
→解説を隠す←

【問題12】
　次のの中の「い」「う」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　右の図1で点Oは線分ABを直径とする円の中心であり，2点C, Dは円Oの周上にある点である。
　4点A, B, C, D は図1のようにA, B, C, D の順に並んでおり，互いに一致しない。
　点Bと点D，点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。
　線分ABと線分CDとの交点をEとする。
　点Aを含まない \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}\) について， \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}=2\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}\)，∠BDC=34°のとき，xで示した∠AEDの大きさは，いう度である。

★, ☆ （解答）

• ABは直径だから，その円周角は
  ∠ADB=90°
• 仮定により，∠BDC=34°だから，
  ∠EDA=56°
• さらに，\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}=2\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}\)だから，
  ∠BDC=2∠ABD
  ∠ABD=17°
• △ABDは直角三角形だから，
  ∠DAB=90°−17°=73°
• △ADEの内角の和は180°だから，
  x=180°−(56°+73°)=51°

　51度　…（答）
→解説を隠す←

【問題13】
　図で，点C, Dは線分ABを直径とする円Oの周上の点であり，Eは直線ABとDCとの交点で，DC=CE, AO=BEである。
　円Oの半径が4 cmのとき，次の�@，�Aの問いに答えなさい。
�@　△CBEの面積は、四角形ABCDの面積の何倍か，求めなさい。
�A　線分ADの長さは何cmか，求めなさい。

★★, ☆☆ （解答）
�@　ABCDは円に内接する四角形だから
∠ECB=∠DAB…(1)
　△CDEと△ADEについて
• ∠Eは共通
• (1)により∠ECB=∠DAB
　2つの三角形で，2組の角がそれぞれ等しいから
△CBE∽△ADE…(2)
\({\rm CE:BE=AE:DE}\)
　そこで，DC=CE=l(cm)とおくと
\(l:4=12:2l\)
\( 2l^2=48\)
\( l^2=24\)
\( l=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\hspace{5px}(cm)\)
　(2)により，相似図形の面積比は，相似比の2乗（比）だから
\({\rm \triangle CBE:\triangle ADE}=(2\sqrt{6})^2:12^2\)
\(=24:144=1:6\)
△CBE:⏢ABCD=1:(6−1)=1:5
△CBEの面積は，⏢ABCDの面積の\(\displaystyle\frac{1}{5}\)倍…（答）
�A　△DOE∽△ADEだから
\({\rm DO:OE=AD:DE}\)
\( 4:8={\rm AD}:4\sqrt{6}\)
\( 8{\rm AD}=16\sqrt{6}\)
\( {\rm AD}=2\sqrt{6}\hspace{5px}(cm)\)…（答）
（別解）
△OADはOA=ODの二等辺三角形だから
∠OAD=∠ODA
これにより，DOは∠ADEの二等分線になるから
AD:DE=AO:OE
\( {\rm AD}:4\sqrt{6}=4:8\)
\( 8{\rm AD}=16\sqrt{6}\)
\( {\rm AD}=2\sqrt{6}\hspace{5px}(cm)\)…（答）
→解説を隠す←

【問題14】
　右の図のような円があり，異なる3点A, B, Cは円周上の点で，△ABCは正三角形である。辺BC上に，2点B, Cと異なる点Dをとり，2点A, Dを通る直線と円との交点のうち，点Aと異なる点をEとする。また，点Bと点Eを結ぶ。
　AB=4 cm, BD:DC=3:1であるとき，△BDEの面積は何\(cm^2\)か。

★★, ☆☆☆ （解答）
　△BDEと△ADCについて
•∠DBEと∠DACとは，同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{EC}}\)の上に立つ円周角だから等しい
•∠BEDと∠ACDとは，同一の弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AB}}\)の上に立つ円周角だから等しい
　以上により，2組の角がそれぞれ等しいから，△BDE∽△ADC
　次に，右図で，\({\rm HD=DC=1,AH=2\sqrt{3},AD=\sqrt{13}}\) だから，△ADCの面積をS，△BDEの面積をTとおくと
　\(\displaystyle S=\frac{2\sqrt{3}\times 1}{2}=\sqrt{3}\)…(1)
　\(S:T=(\sqrt{13})^2:3^2=13:9 \)…(2)
(2)より
　\(9S=13T\)
　\(\displaystyle T=\frac{9}{13}S=\frac{9}{13}\sqrt{3}\hspace{3px}(cm^2)\)…（答）
→解説を隠す←

【問題15】
　図1〜図3のように，円Oの周上に4点A, B, C, Dがあり，AB=ACとする。また，線分ACとBDの交点をEとする。
　このとき，次の(1)〜(3)に答えなさい。
(1), (2)　略
(3)　図3において，\(\displaystyle {\rm AE}=4\hspace{2px} cm,{\rm EC}=1\hspace{2px} cm \),
\(\displaystyle {\rm CD}=\frac{5}{3}\hspace{2px} cm\)とする。
　このとき，線分BCの長さを求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

★★, ☆☆☆ （解答）
　△ABEと△DCEについて

• ∠ABE=∠DCE（弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AD}}\)の円周角 ）
• ∠EAB=∠EDC（弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}\)の円周角 ）

以上により，2組の角がそれぞれ等しいから
　△ABE∽△DCE
次に，BE=lとおくと
　AB:BE=DC:CE
　\(\displaystyle 5:l=\frac{5}{3}:1=5:3\)
　\(l=3\)
　△BCEは，∠E=90°の直角三角形
　\({\rm BC}=\sqrt{3^2+1^2}\)
\(=\sqrt{10}\hspace{3px}(cm)\)…（答）
→解説を隠す←

【問題16】
　図7において，3点A, B, Cは円Oの円周上の点である。AC上にAB=ADとなる点Dをとり，BDの延長と円Oとの交点をEとする。また，点PはAE上を動く点であり，CPとBEとの交点をFとする。ただし，点Pは点A, Eと重ならないものとする。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　図8は，図7において，点Pを∠EFC=∠ABCとなるように動かしたものである。
　このとき，PA=PCであることを証明しなさい。
(2)　図9は，図7において，点Pを∠EPC=90°となるように動かしたものである。
　\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}:\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CE}}=4:5\)，∠CFD=49°のとき，∠ABEの大きさを求めなさい。

★★, ☆☆☆ （解答）
(1)
•AB=ADだから△ABDの両底角は等しい
　�@=�A
•�Aと�Bは対頂角
　�A=�B
•�Cと�Dは弧 \(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{EC}}\)の円周角
　�C=�D…(#1)
•△OCFにおいて，∠Fの外角は，他の２つの内角の和に等しいから
　�B+�F=�E
•仮定により�E=�@+�Cだから
　�B+�F=�@+�C
　�F=�C…(#2)
(#1)(#2)より，�D=�F
△PACの両底角が等しいから，PA=PC…（証明終）
(2) •∠ABE=xとおく
•\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}:\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{CE}}=4:5\)だから∠EAD=5θ, ∠BAD=4θとおける
•∠EPC=90°だから
　∠FEP=90°−49°=41°
•△EADにおいて，∠Dの外角は，他の２つの内角の和に等しいから
　x=5θ+41°…(#1)
•△ABDの内角の和は180°だから
　2x+4θ=180°…(#2)
(#1)(#2)を連立方程式として解く
　(θ=7°,) x=76°…（答）
→解説を隠す←

【問題17】
　右の図のような台形ABCDがあり，AD∥BCである。また，3点A, C, Dを通る円と辺ABは，点A, Bと異なる点で交わり，その交点をEとする。このとき，次の問いに答えよ。
(1)　△ABC∽△DCEを証明せよ。
(2)　さらに，点Eを通り，直線BCに平行な直線と，辺AC, DCの交点をそれぞれF, Gとする。
　点Eが辺ABの中点で，AB:DC=8:7のとき，次の問いに答えよ。
ア　△ABCの面積をSとおくとき，△DEGの面積をSを用いて表せ。また，その求め方を言葉や数，式などを用いて説明せよ。
イ　AD:BCを最も簡単な整数の比で表せ。

★, ☆ (1)　△ABCと△DCEについて

• �@=�A（弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{EC}}\)の円周角）
• �D=�B（弧\(\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{DC}}\)の円周角）
  �B=�C（平行線の錯角）
  ゆえに，�C=�D

以上から，2つの三角形「△ABCと△DCEについて」２組の角がそれぞれ等しいから，これらは相似である…（証明終）
★★★, ☆☆☆ (2)
ア
• (1)の結果から，△ABC∽△DCEで、辺ABとDCが対応する
　AB:DC=8:7だから，△ABCと△DCEの面積比は
　\(8^2:7^2=64:49\)
• AD∥EG∥BCで，AE=EBだから，DG=GC
　面積比は△DEG=△CEG
したがって
　△ABC:△DEG=64:24.5=128:49
　S:△DEG=128:49
　\(\displaystyle{\rm \triangle DEG}=\frac{49}{128}S\)…（答）
イ
AD=l, BC=Lとおき，ADからBCまでの距離をhとおいて，上記の結果を表す
• \(\displaystyle S=\frac{Lh}{2}\)…(#1)
• \(\displaystyle{\rm EF=\frac{L}{2},FG=\frac{l}{2}}\)
　\(\displaystyle{\rm EG=\frac{L}{2}+\frac{l}{2}=\frac{L+l}{2}}\)
　\(\displaystyle{\rm \triangle DEG}=\frac{L+l}{2}\times\frac{h}{2}\div 2\)…(#2)
•(#1)(#2)より
　\(\displaystyle\frac{L+l}{2}\times\frac{h}{2}\div 2=\frac{49}{128}\times\frac{Lh}{2}\)
　\(\displaystyle\frac{L+l}{4}=\frac{49}{128}\times L\)
　\(\displaystyle 128(L+l)=4\times 49L=196L\)
　\(\displaystyle 128l=68L\)
　\(\displaystyle L=\frac{128}{68}l=\frac{32}{17}l\)
　\({\rm AD:BC}=l:L=17:32\)…（答） →解説を隠す←

【問題18】
　右の図は，∠ACB=90°の直角三角形ABCである。線分ACを直径とする円の中心をOとし，円Oと辺ABとの交点をDとする。点Eは線分DC上にあって，OE⊥DCである。点FはOEの延長と辺BCとの交点である。また，点Gは線分BE上にあって，GF⊥BEである。
　このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。
(1)　△ABC∽△ODEであることを証明しなさい。
(2)　AB=6 cm, AC=4 cmのとき，
　�@　線分DEの長さを求めなさい。
　�A　線分GFの長さを求めなさい。

★, ☆☆ (1)　△ABCと△ODEとで2組の角が等しいことを示せばよい
•OE⊥DEだから
　�@+�A=90°
•OD=OC（半径）だから
　�@=�B
•ACは直径だから，AD⊥DC
　�C+�B=90°
これらから，�C=�A
△ABCと△ODEは1つの角が直角
以上により，△ABCと△ODEとで2組の角が等しいから，互いに相似…（証明終）
★★ ☆☆ (2)
�@
•(1)の結果から
　OD:DE=AB:BC…(#1)
•△ABCは∠C=90°の直角三角形だから，三平方の定理により
　\({\rm AC^2+BC^2=AB^2}\)
　\({\rm 4^2+BC^2=6^2}\)
　\({\rm BC^2}=36-16=20\)
　\({\rm BC}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)…(#2)
(#1)(#2)より
　\(2:{\rm DE}=6:2\sqrt{5}\)
　\(6{\rm DE}=4\sqrt{5}\)
　\(\displaystyle {\rm DE}=\frac{4}{6}\sqrt{5}=\frac{2}{3}\sqrt{5}\hspace{2px}(cm)\)…（答）
★★★, ☆☆☆ �A
△CAD∽△BACだから
　BA:AC=CA:AD
　\(6:4=4:{\rm AD}\)
　\(\displaystyle{\rm AD}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\)
したがって
　\(\displaystyle{\rm BD}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
�@の結果とBDの長さから，△BDEについて，三平方の定理を使うと
　\(\displaystyle{\rm BE^2}=(\frac{10}{3})^2+(\frac{2}{3}\sqrt{5})^2=\frac{120}{9}\)
　\(\displaystyle{\rm BE}=\frac{2\sqrt{30}}{3}\)
DB∥EF (AB∥OF)だから
　\({\rm DB:EF=AC:OC}=2:1\)
　\({\rm EF}=\frac{5}{3}\)
DB∥EFにより，錯角は等しいから，△EDB∽△FGE
　BE:ED=EF:FG
　\(\displaystyle \frac{2\sqrt{30}}{3}:\frac{2}{3}\sqrt{5}=\frac{5}{3}:{\rm FG}\)
　\(\displaystyle {\rm FG}=\frac{10\sqrt{5}}{9}\times\frac{3}{2\sqrt{30}}=\frac{5\sqrt{6}}{18}\hspace{2px}(cm)\)…（答）
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