直線の傾き

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== 直線の傾き ==
※この頁は直線の傾きの発展学習です．もし難しいと思ったら，もっと前の頁を先に勉強してください．

１．

　次の図において，原点を通る直線　ｙ＝ａｘ　が線分ＡＢと交わるような傾きａの値の範囲を求めなさい．

解説

(一つ選んでクリックしなさい)

，１≦ａ≦２，２≦ａ≦４　

原点を通る直線ｙ＝ａｘが線分ＡＢ（両端を含む）と交わるとき
(1) 傾きが最も小さくなるのは図のＯＢとなる場合で，そのときの傾きは $a=\frac{2}{2}=1$
(2) 傾きが最も大きくなるのは図のＯＡとなる場合で，そのときの傾きは $a=\frac{4}{2}=2$
したがって，１≦ａ≦２
※何か便利な公式があるのかと考えてはいけない．教科書に出ていないような公式は勝手に使えない．この問題では，図を見て「傾きが小さいとき」「傾きが大きいとき」を目で見て考えて，階段の絵を描いて，縦÷横で傾きを計算する．

２．
　原点を通る直線　ｙ＝ａｘ　が，右図の赤で示したＶ字形の折れ線と２回交わるような傾きａの値の範囲を求めなさい．
解説

(一つ選んでクリックしなさい)

１≦ａ≦３，

，

※何か便利な公式があるのかと考えてはいけない．図を見て考える．
図の黄色で示した範囲でV字形の折れ線と２回交わり，それよりも傾きが小さいと全く交わらず，黄色の範囲よりも少し大きいと１回だけ交わる．（ただし，V字の下端では１回だけ交わる）
(1) 最も小さくなるときの傾きは $a=\frac{1}{3}$
で，ちょうどこの値では１回しか交わらないから，この値よりも大きい．
(2) 最も大きくなるときの傾きは $a=\frac{3}{4}$
ちょうどこの値になるときも２回交わる．
したがって， $\frac{1}{3} \lt a \le \frac{3}{4}$

３．
　原点を通る直線　ｙ＝ａｘ　が，右図の赤で示したＷ字形の折れ線と４回交わるような傾きａの値の範囲を求めなさい．
解説

(一つ選んでクリックしなさい)

，　

※何か便利な公式があるのかと考えてはいけない．図を見て考える．
図の黄色で示した範囲でｗ字形の折れ線と４回交わり，それよりも傾きが小さいと３回以下になる．また，黄色の範囲よりも少し大きいと３回だけ交わる．
(1) 最も小さくなるときの傾きは $a=\frac{1}{2}$
で，ちょうどこの値では１回しか交わらないから，この値よりも大きい．
(2) 最も大きくなるときの傾きは $a=\frac{4}{5}$
ちょうどこの値になるときも２回交わる．
したがって， $\frac{1}{2} \lt a \le \frac{4}{5}$

４．　長さ60cmの線分ＡＢがあり，点Ｐは，線分ＡＢ上を動くものとする．右のグラフは，点Ｐが点Ａを出発してから経過した時間をｘ秒，点Ａからの距離をｙcmとしたときの，ｘ，ｙの関係を示したものである．次の各問いに答えなさい．
(1)(2)　略
(3)　点Ｑは，点Ｐと同時に出発し，線分ＡＢ上を点Ｂに向かって動き，点Ｂに着いたあとは，点Ｂに止まっているものとする．

1)　点Ｑが，点Ａから出発し，毎秒ａcmの速さで動くとき，15＜ｘ＜60において，点Ｐと点Ｑが３回重なるようなａの値の範囲を求めなさい．

(「長野県　1999年」問題の一部引用)

解説

(上の問題の答を選びなさい)

，

，15＜ａ＜50，20＜ａ＜60

※何か便利な公式があるのかと考えてはいけない．図を見て考える．
図の水色で示した範囲で３回交わる．
(1) 最も小さくなるのは赤丸の点を通るときで，傾きは $a=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$
で，ちょうどこの値では２回しか交わらないから，この値よりも大きい．

(2) 最も大きくなるのは青丸の点を通るときで，傾きは $a=\frac{60}{50}=\frac{6}{5}$
ちょうどこの値になるときは２回交わるからこの値よりも小さくなければならない．
したがって， $\frac{6}{5} \lt a \lt \frac{2}{3}$

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[直線の傾きについて／17.3.7］

分かりづらすぎる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．傾きに弱い人は，分数に弱く，分数に弱い人は割合に弱いまま中学生になってしまったという可能性があります．その頁は応用問題の最後の頁ですから，傾きの項目のもっと前の頁をサブメニューから選んでそちらを先に読んでください．