== 問題以上，答以下 == • 文章題では，問題をじっくり読むことが大切です． • ここでは答を気にせずに，問題を読むことに集中しましょう． 《もとの問題》 　右の図のように，平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ，ＣＤをそれぞれ一辺とする正三角形ＢＥＣ，正三角形ＣＦＤをつくり，３点Ａ，Ｅ，Ｆをそれぞれ直線で結ぶ． 　三角形ＡＥＦは正三角形であることを証明しなさい． 　（「群馬県　平成11年度」問題の引用） 《答える前に》　 　結論の「三角形ＡＥＦは正三角形である．」を示すために，ＡＥ＝ＥＦ・・・(*)　と　ＡＦ＝ＥＦ・・・(**)　に分けて証明しようと考えた． ＡＥ＝ＥＦ・・・(*)について 　もとの問題において，ＡＢＣＤが「平行四辺形」であるとされていることから，辺ＡＢと長さが等しいといえるのはどの辺ですか．・・・(1)　 (１つ選びなさい→)　ＢＣ　，　ＣＤ　，　ＤＡ 　もとの問題において，三角形ＢＥＣが「正三角形」であるとされていることから，辺ＢＥと長さが等しいといえるのはどの辺ですか． (１つ選びなさい→)　ＡＢ　，ＣＥ　，　ＦＣ 　さらに，三角形ＣＦＤが「正三角形」であるとされていることから，ＣＤ＝ＦＣもいえます． 　以上から，ＡＢ＝ＦＣ・・・(2) (*)を証明するために，△ＡＢＥと△ＦＣＥの合同を利用するとすれば，次の合同条件のうち利用できるものはどれですか． (１つ選びなさい→) 対応する三辺がそれぞれ等しいこと（ＡＢ＝ＦＣ，ＢＥ＝ＥＡ，ＥＣ＝ＥＦ）を示す 二辺とその間の角が等しいこと（ＡＢ＝ＦＣ，ＢＥ＝ＣＥ，ＡＢＥ＝ＦＣＥ）を示す 二辺とその間の角が等しいこと（ＢＥ＝ＣＥ，ＥＡ＝ＥＦ，ＢＥＡ＝ＣＥＦ）を示す 二辺とその間の角が等しいこと（ＥＡ＝ＥＦ，ＡＢ＝ＦＣ，ＥＡＢ＝ＥＦＣ）を示す 二角とその間の辺が等しいこと（ＢＥＡ＝ＣＥＦ，ＥＡＢ＝ＥＦＣ，ＥＡ＝ＥＦ）を示す ＡＢＥ＝ＦＣＥは次のように示されます．空欄を埋めなさい． ＡＢＥ＝ＡＢＣ＋60 ＦＣＥ＝360−120−ＢＣＤ＝240−ＢＣＤ 　　　　＝240−(−ＡＢＣ)＝60＋ＡＢＣ ゆえに　ＡＢＥ＝ＦＣＥ・・・(3) (1)(2)(3)より，△ＡＢＥと△ＦＣＥは合同となり，ＡＥ＝ＥＦ・・・(*) 同様にして，△ＦＤＡと△ＦＣＥの合同から，ＡＦ＝ＥＦ・・・(**)が示されます． (*)(**)より△ＡＥＦは正三角形であることがいえます． （もとの問題の解答を見る→）

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ＡＢＣＤは平行四辺形だから，ＡＢ＝ＤＣ
△ＣＦＤは正三角形だから，ＤＣ＝ＦＣ
　よって，ＡＢ＝ＦＣ・・・(1)

△ＢＥＣは正三角形だから，ＢＥ＝ＣＥ・・・(2)

ＡＢＥ＝ＡＢＣ＋６０
ＦＣＥ＝360−120−ＢＣＤ
　＝240−(180−ＡＢＣ)
　＝60＋ＡＢＣ
　よって，ＡＢＥ＝ＦＣＥ・・・(3)

(1)(2)(3)より△ＡＢＥと△ＦＣＥについて二辺とその間の角が等しいから
△ＡＢＥと△ＦＣＥは合同
　ゆえに，ＡＥ＝ＦＣ・・・(*)

同様にして，ＤＡ＝ＣＢ＝ＣＥ，ＦＤ＝ＦＣ，ＡＢＥ＝ＦＣＥがいえるから
△ＦＤＡと△ＦＣＥは合同
　ゆえに，ＦＡ＝ＦＣ・・・(**)

(*)(**)よりＡＥ＝ＦＣ＝ＦＡとなり，△ＡＥＦは正三角形