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【漸化式の一般項】（まとめ）
(1)　階差型漸化式
\( a_{n+ 1}=a_n+ f(n) \)のとき，一般項は
\( \displaystyle a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \)
(2)　等比型漸化式
\( a_{n+ 1}=pa_n+ q\hspace{5px}(p\ne 1) \)(p, qは定数)のとき，一般項\( a_{n} \)は次の式から求められる．ただし，αは，特性方程式α=pα+qの解
\( a_{n}-\alpha=(a_1-\alpha)p^{n-1} \)
(3)　三項間漸化式
\( a_{n+ 2}=pa_{n+ 1}+ qa_n\hspace{5px}(p\ne 1) \)(p, qは定数)のとき，一般項\( a_{n} \)は次の式から求められる．ただし，α, βは，\( a_{n+ 2}-\alpha a_{n+ 1}=\beta(a_{n+ 1}-\alpha a_n) \)を満たす定数
\( a_{n+ 1}-\alpha a_{n}=(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1} \)
(4)　連立漸化式
\( a_{n+1}=pa_n+qb_n \)
\( b_{n+1}=ra_n+ sb_n \)
のとき，\( a_{n+ 1}-\alpha b_{n+ 1}=\beta(a_{n}-\alpha b_n) \)となるα, βにより
\( a_{n}-\alpha b_{n}=(a_{1}-\alpha b_1)\beta^{n-1} \)
と書ける．２組求めて，\( a_{n},\hspace{2px}b_{n} \)について解けばよい．

【例題1】
　さいころをn回投げたとき１の目が出る回数が奇数である確率をpnとおく．以下の問いに答えよ．
(1)　p1, p2, p3を求めよ．
(2)\( \displaystyle p_{n+ 1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} \)が成り立つことを示せ．
(3)　pnを求めよ．

【類題1.1】
　正三角形ABCがあり，点Xは正三角形ABCの頂点を移動する点である．サイコロを投げて５の目が出たとき点Xは時計回りに隣の点に移動し，6の目が出たとき点Xは反時計回りに隣の頂点に移動し，それ以外の目が出たとき点Xは移動しない．はじめに点Xは頂点Aにあるとし，サイコロをn回投げたとき点Xが頂点Aにある確率をPnとする．
(1)　P1, P2, P3を求めよ．
(2)　Pn+1をPnを用いて表せ．
(3)　Pnを求めよ．

(1)　P1は「サイコロを1回投げたとき点Xが頂点Aにある確率」だから，「サイコロを1回投げて，1から4の目が出る確率」を求めるとよい．
\( \displaystyle P_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \)
　P2は「サイコロを2回投げたとき点Xが頂点Aにある確率」だから，「サイコロを2回投げて，ア）2回とも1から4の目が出る，イ）5と6が１回ずつ出る確率」を求めるとよい．
\( \displaystyle P_2=(\frac{2}{3})^2+ _2C_1(\frac{1}{6})(\frac{1}{6})=\frac{4}{9}+\frac{1}{18}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2} \)
　P3は「サイコロを3回投げたとき点Xが頂点Aにある確率」だから，「サイコロを3回投げて，ア）3回とも1から4の目が出る，イ）5と6が１回ずつ出て，１から4が１回出る，ウ）５が３回出る，エ）6が３回出る確率」を求めるとよい．
\( \displaystyle P_3\!=\!(\frac{2}{3})^3\!+\! _3C_1(\frac{1}{6})\times _2C_1(\frac{1}{6})\times\frac{2}{3}\!+\!(\frac{1}{6})^3\!+\!(\frac{1}{6})^3 \)
\( \displaystyle =\frac{8}{27}+\frac{1}{9}+\frac{1}{216}+\frac{1}{216}=\frac{45}{108}=\frac{5}{12} \)
(2)
　次の３つの場合について確率の和を求めればよい．
ア）「サイコロをn回投げたとき点Xが頂点Aにあって，n+1回目に1〜4の目が出る確率」
\( \displaystyle P_n\times\frac{2}{3} \)
イ）「サイコロをn回投げたとき点Xが頂点Bにあって，n+1回目に6の目が出る確率」
\( \displaystyle (1-P_n)\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{6} \)
ウ）「サイコロをn回投げたとき点Xが頂点Cにあって，n+1回目に5の目が出る確率」
\( \displaystyle (1-P_n)\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{6} \)
以上から，
\( \displaystyle P_{n+ 1}\!=\!P_n\times\frac{2}{3}\!+\!(1\!-\!P_n)\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}\!+\!(1\!-\!P_n)\!\times\!\frac{1}{2}\!\times\!\frac{1}{6} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} \)
(3)
\( \displaystyle P_{n+ 1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}(P_n-\frac{1}{3}) \)
\( \displaystyle P_{n}-\frac{1}{3}=(P_1-\frac{1}{3})\times(\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2})^{n-1} \)
\( \displaystyle P_{n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 2^{n-1}} \)
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【類題1.2】
　１つのサイコロを何回か投げる場合を考える．４回投げたとき，「1または2の目」が奇数回出る確率は
　　　である．また，n回投げたときに「1または2の目」が奇数回出る確率をpnとするとき，pnをnの式で表すと　　　である．

　１回投げたとき「1または２の目」が出る確率は\( \displaystyle \frac{1}{3} \)だから，４回投げたとき「1または２の目」が1回出る確率は
\( \displaystyle _4C_1(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^3=\frac{32}{81} \)
　４回投げたとき「1または２の目」が3回出る確率は
\( \displaystyle _4C_3(\frac{1}{3})^3(\frac{2}{3})=\frac{8}{81} \)
　これらを加えると
\( \displaystyle \frac{40}{81} \)･･･（答）
　「1または2の目」が出た回数を，n回目までに出た回数とn+1回目に出た回数に分けて考えると
ア）n回目までに「1または2の目」が奇数回出て，n+1回目に「1または2の目」が出ない確率は
\( \displaystyle p_n\times\frac{2}{3} \)
イ）n回目までに「1または2の目」が奇数回出ずに（偶数回出て），n+1回目に「1または2の目」が出る確率は
\( \displaystyle (1-p_n)\times\frac{1}{3} \)
上記ア）イ）の和から
\( \displaystyle p_{n+1}=p_n\times\frac{2}{3}+(1-p_n)\times\frac{1}{3} \)
\( \displaystyle p_{n+ 1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{3} \)
この漸化式から一般項を求める
\( \displaystyle p_{n+ 1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(p_n-\frac{1}{2}) \)
のように変形すると，数列\( \displaystyle p_{n+ 1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(p_n-\frac{1}{2}) \)は，初項\( \displaystyle p_1-\frac{1}{2} \)，公比\( \displaystyle \frac{1}{3} \)の等比数列になるから
\( \displaystyle p_{n}-\frac{1}{2}=(p_1-\frac{1}{2})(\frac{1}{3})^{n-1} \)
　また，サイコロを１回投げて「1または2の目」が奇数回出る確率は
\( \displaystyle p_{1}=\frac{1}{3} \)
だから
\( \displaystyle p_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\times(\frac{1}{3})^{n-1} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{1}{2\times 3^n} \)･･･（答）
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【類題1.3】
　２つの粒子が時刻0において△ABCの頂点Aに位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ１秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点Cにいる粒子は，その１秒後には点Aまたは点Bにそれぞれ\( \displaystyle \frac{1}{2} \)の確率で移動する．この２つの粒子が，時刻0のn秒後に同じ点にいる確率p(n)を求めよ．

　１秒後に２つとも点Bにいる確率は
\( \displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{2} \)
　１秒後に２つとも点Cにいる確率は
\( \displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{2} \)
　したがって，１秒後に同じ点にいる確率は
\( \displaystyle p(1)=\frac{1}{4}%2B\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \)
　n+1秒後に同じ点にいる確率p(n+1)を，n秒後に同じ点にいる確率p(n)を用いて表すには，次の３つの場合が考えられる．
ア）n秒後に同じ点にいて，２つとも右に回る場合
\( \displaystyle p(n)\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} \)
イ）n秒後に同じ点にいて，２つとも左に回る場合
\( \displaystyle p(n)\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} \)
ウ）n秒後に異なる点にいて，次に第３の点で一致する場合
\( \displaystyle \{1-p(n)\}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} \)
ア）イ）ウ）を加えると
\( \displaystyle p(n+ 1)=\frac{1}{2}p(n)+\frac{1}{4}\{1-p(n)\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{4}p(n)+\frac{1}{4} \)
　次の漸化式の一般項を求める
\( \displaystyle p(1)=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle p(n+ 1)=\frac{1}{4}p(n)+\frac{1}{4} \)
\( \displaystyle p(n+1)-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\{p(n)-\frac{1}{3}\} \)
のように変形すると，数列\( \displaystyle \{p(n)-\frac{1}{3}\} \)は，初項\( \displaystyle p(1)-\frac{1}{3} \)，公比\( \displaystyle \frac{1}{4} \)の等比数列になるから
\( \displaystyle p(n)-\frac{1}{3}=\{p(1)-\frac{1}{3}\}(\frac{1}{4})^{n-1} \)
\( \displaystyle p(n)-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}(\frac{1}{4})^{n-1} \)
\( \displaystyle p(n)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3\times 4^n} \)
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【類題1.4】
　数直線上を動く点Pが，最初原点の位置にある．１個のさいころをくり返し投げ，１回投げるごとにさいころの出た目に応じて次の操作を行う．
さいころをn回投げた後に点Pが原点にある確率をpnとする．
(1)　p1とp2をそれぞれ求めよ．
(2)　n≧1のとき，pn+1をpnを用いて表せ．
(3)　pnをnの式で表せ．

(1)　1回投げて原点にあるのは2,4,6の目が出る場合だから
\( \displaystyle p_1=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \)
　2回投げて原点にあるのは，次の場合になる

1回目	1,3,5	2,4	2,4	6	6
2回目	6	2,4	6	2,4	6
確率	\( \frac{1}{12}\)	\( \frac{1}{9}\)	\( \frac{1}{18}\)	\( \frac{1}{18}\)	\( \frac{1}{36}\)

　これらの確率を加えると\( p_2=\dfrac{1}{3} \)
(2)
　n+1回投げた後に原点にあるのは，「n回投げた後に原点にあって，n+1回目に2,4,6が出る場合」「n回投げた後に原点になくて，n+1回目に6が出る場合」だから
\( \displaystyle p_{n+ 1}=p_n\times\frac{1}{2}+(1-p_n)\times\frac{1}{6} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{6} \)
(3)
\( \displaystyle p_{n+1}-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}(p_n-\frac{1}{4}) \)
のように変形すると，数列\( \displaystyle \{p_n-\frac{1}{4}\} \)は，初項\( \displaystyle p_1-\frac{1}{4}=\frac{1}{4} \)，公比\( \displaystyle \frac{1}{3} \)の等比数列になるから
\( \displaystyle p_{n}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\times(\frac{1}{3})^{n-1} \)
\( \displaystyle p_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times(\frac{1}{3})^{n-1} \)
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【例題2】
　あるウイルスの感染拡大について次の仮定で試算を行う．このウイルスの感染者は感染してから１日の潜伏期間をおいて，２日目から毎日２人の未感染者にこのウイルスを感染させるとする．新たな感染者１人が感染源となったn日後の感染者数をan人とする．たとえば，１日後は感染者は増えずa1=1で，２日後は２人増えてa2=3となる．
(1)　an+2, an+1, an (n=1, 2, 3, ･･･)の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)　一般項anを求めよ．
(3)　感染者が初めて１万人を超えるのは何日後か求めよ．

a1=1
a2=a1+2a1=3
a3=a2+2a1=5
a4=a3+2a2=11

【類題2.1】
　Ａ，Ｂ，Ｃの３人が，最初は赤色の箱，Ｂ，Ｃは白色の箱をもって並んでいる．表，裏の出る確率が等しい硬貨を投げて，表が出るとＡとＢが箱を交換し，裏が出るとＢとＣが箱を交換するという操作を繰り返す．
(1)　硬貨を2回投げたとき，Ａ，Ｂ，Ｃが赤い箱をもっている確率は，それぞれ

1

2

，

3

4

，

5

6

である．

(2)　硬貨を3回投げるとき，Ａ，Ｂ，Ｃが赤い箱をもっている確率は，それぞれ

7

8

，

9

10

，

11

12

である．

(3)　硬貨を4回投げるとき，Ａが赤い箱をもっている

確率は

13

14

である．

(4)　硬貨を5回投げるとき，Ａが赤い箱をもっている

確率は

1516

1718

である．

　n (n=2, 3, 4, 5)回目にX (X=A, B, C)が赤い箱を持っている確率をP(n, X)で表すと
(1)
�@）2回目にAが赤い箱を持っているのは
　「裏→裏と出る場合」「表→表と出る場合」があるから
\( \displaystyle P(2,A)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \) → 1 / 2
�A）2回目にBが赤い箱を持っているのは
　「裏→表と出る場合」だけだから
\( \displaystyle P(2,B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \) → 3 / 4
�B）2回目にCが赤い箱を持っているのは
　「表→裏と出る場合」だけだから
\( \displaystyle P(2,B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \) → 5 / 6
(2)
�@）3回目にAが赤い箱を持っているのは
\( \displaystyle P(3,A)=P(2,A)\times\frac{1}{2}+ P(2,B)\times\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8} \) → 7 / 8
�A）3回目にBが赤い箱を持っているのは
\( \displaystyle P(3,B)=P(2,A)\times\frac{1}{2}+ P(2,C)\times\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8} \) → 9 / 10
�B）3回目にCが赤い箱を持っているのは

「2回目にCが赤い箱を持っていて，3回目に表が出る場合」「2回目にBが赤い箱を持っていて，3回目に裏が出る場合」だから

\( \displaystyle P(3,B)=P(2,C)\times\frac{1}{2}+ P(2,B)\times\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}%2B\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \) → 11 / 12

(3)
　硬貨を4回投げたとき，Aが赤い箱を持っているのは

「3回目にAが赤い箱を持っていて，4回目に裏が出る場合」「3回目にBが赤い箱を持っていて，4回目に表が出る場合」だから

\( \displaystyle P(4,A)=P(3,A)\times\frac{1}{2}+ P(3,B)\times\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8} \) → 13 / 14

なお，元の問題にはないが「硬貨を4回投げたとき，Bが赤い箱を持っている」確率も，次のようにして計算できる（この値は，次の(4)の問題を求めるときに使う）
「3回目にAが赤い箱を持っていて，4回目に表が出る場合」「3回目にCが赤い箱を持っていて，4回目に裏が出る場合」は
\( \displaystyle P(4,B)=P(3,A)\times\frac{1}{2}+P(3,C)\times\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{16} \)

(4)
　硬貨を5回投げたとき，Aが赤い箱を持っているのは

「4回目にAが赤い箱を持っていて，5回目に裏が出る場合」「4回目にBが赤い箱を持っていて，5回目に表が出る場合」だから

\( \displaystyle P(5,A)=P(4,A)\times\frac{1}{2}+ P(4,B)\times\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}+\frac{5}{16}\times\frac{1}{2}=\frac{11}{32} \) → 15 16 / 17 18
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【類題2.2】
　コインを投げ，点Pを次の規則によって正三角形ABCの頂点A,B,C上を動かす．点PがAにあるときは，表が出たらBに動かし，裏が出たらCに動かす．Bにあるときは，表が出たらCに動かし，裏が出たらAに動かす．Cにあるときは，表が出たらAに動かし，裏が出たらBに動かす．
　はじめに点PはAにあるとし，コインをn回投げた後にPがAにある確率をan，Bにある確率をbn，Cにある確率をcnとする
(1)　\( \displaystyle a_1=0,\hspace{2px}b_1=\frac{1}{2},\hspace{2px}c_1=\frac{1}{2} \)である．n=2, 3, 4に対して，an, bn, cnを求めよ．
(2)　(�@) an+1をan, bn, cnを用いて表せ．
　　(�A) bn+1をan, bn, cnを用いて表せ．
　　(�B) cn+1をan, bn, cnを用いて表せ．
(3)　bn=cnであることを示せ．
(4)　anを求めよ．

(1)
コインを2回投げた後にPがAにあるのは 同様にして コインを3回投げた後にPがAにあるのは 同様にして コインを4回投げた後にPがAにあるのは 同様にして (2)
(�@)\( \displaystyle a_{n+ 1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}c_n \)
(�A)\( \displaystyle b_{n+ 1}=\frac{1}{2}c_n+\frac{1}{2}a_n \)
(�B)\( \displaystyle c_{n+ 1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n \)
(3)
数学的帰納法により証明する．
�T）　仮定により\( \displaystyle b_1=\frac{1}{2},\hspace{2px}c_1=\frac{1}{2} \)だから，\( b_1=c_1 \)
�U）
\( \displaystyle b_{n+ 1}=\frac{1}{2}c_n+\frac{1}{2}a_n \)
\( \displaystyle c_{n+ 1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n \)
だから，\( \displaystyle b_k=c_k \)ならば，\( \displaystyle b_{k+ 1}=c_{k+ 1} \)
�T）�U）により
すべての自然数nについて，bn=cnが成り立つ．
(4)
(2)の結果から，an+1+bn+1+cn+1=an+bn+cn=1
bn+cn=1−an
これを(2)(�@)に代入すると
\( \displaystyle a_{n+ 1}=\frac{1}{2}(1-a_n) \)
\( \displaystyle a_{n+ 1}=-\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2} \)
この２項間漸化式は，次のように変形できる
\( \displaystyle a_{n+ 1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}(a_n-\frac{1}{3}) \)
このとき，数列\( \displaystyle \{a_{n}-\frac{1}{3}\} \)は初項\( \displaystyle a_{1}-\frac{1}{3} \)，公比\( \displaystyle -\frac{1}{2} \)の等比数列をなすから
\( \displaystyle a_{n}-\frac{1}{3}=(-\frac{1}{3})(-\frac{1}{2})^{n-1} \)
\( \displaystyle a_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times(-\frac{1}{2})^{n-1} \)
（参考）
　一般の場合，誘導問題の流れとして，(3)のように出題されていればこれを利用して(4)を解くことが多い．上記の答案では，(3)の結果を利用せずに(4)を解いているが，(3)を使って(4)を解く場合は，次のような答案が書ける．
　bn=cnだから(2)(�@)(�A)により
\( \displaystyle a_1=0,\hspace{2px}b_1=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle a_{n+ 1}=b_n \)
\( \displaystyle b_{n+ 1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}a_n \)
この連立漸化式から\( \displaystyle a_{n+ 1}-\alpha b_{n+ 1}=\beta(a_{n}-\alpha b_{n}) \)となる定数\( \alpha,\hspace{2px}\beta \)を係数比較によって求めると
\( \displaystyle -\frac{\alpha}{2}=\beta \)
\( \displaystyle 1-\frac{\alpha}{2}=-\alpha\beta \)
これを解くと
α=−2･･･(*1)
β=1
α=1･･･(*2)
\( \displaystyle \beta=-\frac{1}{2} \)
(*1)から
\( \displaystyle a_{n+ 1}+ 2b_{n+ 1}=a_{n}+ 2b_{n}=a_1+ 2b_1=1 \)･･･(*3)
(*2)から\( \displaystyle a_{n+ 1}-b_{n+ 1}=(-\frac{1}{2})(a_{n}-b_{n}) \)
\( \displaystyle a_{n}-b_{n}=(a_{1}-b_{1})(-\frac{1}{2})^{n-1}=(-\frac{1}{2})^n \)･･･(*4)
(*3)+(*4)×2により\( \displaystyle b_n \)を消去すると
\( \displaystyle 3a_{n}=1+ 2\times(-\frac{1}{2})^n \)
\( \displaystyle a_{n}=\frac{1}{3}\{1-(-\frac{1}{2})^{n-1}\} \)
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【類題2.3】
　AとBの２人が，１個のサイコロを次の手順により投げ合う．
　１回目はAが投げる．
　1,2,3の目が出たら，次の回には同じ人が投げる．
　4,5の目が出たら，次の回には別の人が投げる．
　6の目が出たら，投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない．
(1)　n回目にAがサイコロを投げる確率anを求めよ．
(2)　ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率pnを求めよ．
(3)　n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率qnを求めよ．

(1)　n回目にAがサイコロを投げる確率をan，Bが投げる確率をbnとおくと
　1回目にAがサイコロを投げる確率は
\( \displaystyle a_1=1 \)
　1回目にBがサイコロを投げる確率は
\( \displaystyle b_1=0 \)
　2回目にAがサイコロを投げるのは，1回目にAが1,2,3を出す場合だから
\( \displaystyle a_2=\frac{1}{2} \)
　2回目にBがサイコロを投げるのは，1回目にAが4,5を出す場合だから
\( \displaystyle b_2=\frac{1}{3} \)
　3回目にAがサイコロを投げるのは，「2回目にAが投げて1,2,3を出す場合」「2回目にBが投げて4,5を出す場合」だから
\( \displaystyle a_3=a_2\times\frac{1}{2}+ b_2\times\frac{1}{3} \)
　3回目にBがサイコロを投げるのは，「2回目にAが投げて4,5を出す場合」「2回目にBが投げて1,2,3を出す場合」だから
\( \displaystyle b_3=a_2\times\frac{1}{3}+ b_2\times\frac{1}{2} \)
　次の連立漸化式から，一般項を求める
\( \displaystyle a_1=1,\hspace{2px}b_1=0 \)
\( \displaystyle a_{n+ 1}=a_n\times\frac{1}{2}+ b_n\times\frac{1}{3} \)･･･(*1)
\( \displaystyle b_{n+1}=a_n\times\frac{1}{3}+ b_n\times\frac{1}{2} \)･･･(*2)
\( \displaystyle a_{n+ 1}-\alpha b_{n+ 1}=\beta(a_n-\alpha b_n) \)となる\( \displaystyle \alpha,\hspace{2px}\beta \)を係数比較によって求めると
\( \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\alpha}{3}=\beta \)･･･(*3)
\( \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{\alpha}{2}=-\alpha\beta \)･･･(*4)
(*3)(*4)より
\( \displaystyle \alpha=1,\hspace{2px}\beta=\frac{1}{6} \)･･･(*5)
\( \displaystyle \alpha=-1,\hspace{2px}\beta=\frac{5}{6} \)･･･(*6)
(*5)より
\( \displaystyle a_{n+ 1}-b_{n+ 1}=\frac{1}{6}(a_n-b_n) \)
　数列\( \displaystyle \{a_n-b_n\} \)は，初項\( a_1-b_1=1 \)，公比\( \displaystyle \frac{1}{6} \)の等比数列になるから
\( \displaystyle a_{n}-b_{n}=(\frac{1}{6})^{n-1} \)･･･(*7)
(*6)より
\( \displaystyle a_{n+ 1}+ b_{n+ 1}=\frac{5}{6}(a_n+ b_n) \)
　数列\( \displaystyle \{a_n+ b_n\} \)は，初項\( \displaystyle a_1+ b_1=1 \)，公比\( \displaystyle \frac{5}{6} \)の等比数列になるから
\( \displaystyle a_{n}+ b_{n}=(\frac{5}{6})^{n-1} \)･･･(*8)
{(*7)+(*8)}÷2により
\( \displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\Big\{(\frac{5}{6})^{n-1}+(\frac{1}{6})^{n-1}\Big\} \)
(2)
n回目にAがサイコロを投げて，6の目が出る場合だから
\( \displaystyle p_n=a_{n}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\Big\{(\frac{5}{6})^{n-1}+(\frac{1}{6})^{n-1}\Big\} \)
(3) n回で勝つというのは互いに排反事象なので，n回以下で勝つ確率は，それらの和で求められる
\( \displaystyle q_n=\sum_{k=1}^n p_k=\frac{1}{12}\{\sum_{k=1}^n(\frac{5}{6})^{k-1}+\sum_{k=1}^n(\frac{1}{6})^{k-1}\} \)
{　}内の第1項は，初項1，公比\( \displaystyle \frac{5}{6} \)，項数nの等比数列の和だから
\( \displaystyle \frac{1-(\dfrac{5}{6})^n}{1-\dfrac{5}{6}}=6\Big\{1-(\frac{5}{6})^n\Big\} \)
{　}内の第2項は，初項1，公比\( \displaystyle \frac{1}{6} \)，項数nの等比数列の和だから
\( \displaystyle \frac{1-(\dfrac{1}{6})^n}{1-\dfrac{1}{6}}=\frac{6}{5}\Big\{1-(\frac{1}{6})^n\Big\} \)
結局
\( \displaystyle q_n=\frac{1}{2}\Big\{1-(\frac{5}{6})^n\Big\}+\frac{1}{10}\{1-(\frac{1}{6})^n\} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{5}-\frac{1}{2}(\frac{5}{6})^n-\frac{1}{10}(\frac{1}{6})^n \)
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【類題2.4】
　xy平面上の６個の点(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)が図のように長さ1の線分で結ばれている．動点Xは，これらの点の上を次の規則に従って１秒ごとに移動する．

　例えば，Xが(2, 0)にいるときは，(1, 0), (2, 1)のいずれかに\( \displaystyle \frac{1}{2} \)の確率で移動する．また，Xが(1, 1)にいるときは，(0, 1), (1, 0), (2, 1)のいずれかに\( \displaystyle \frac{1}{3} \)の確率で移動する．
　時刻0で動点XがO=(0, 0)から出発するとき，n秒後にXのx座標が0である確率を求めよ．ただし，nは0以上の整数とする．

　n秒後にXのx座標が0である：(0, 0)または(0, 1)にいる確率をpn，x座標が1である：(1, 0)または(1, 1)にいる確率をqn，x座標が2である：(2, 0)または(2, 1)にいる確率をrnで表すと
\( \displaystyle p_0=1,\hspace{2px}q_0=0,\hspace{2px}r_0=0 \)
\( \displaystyle p_1=\frac{1}{2},\hspace{2px}q_1=\frac{1}{2},\hspace{2px}r_1=0 \)
\( \displaystyle p_{n+ 1}=p_n\times\frac{1}{2}+ q_n\times\frac{1}{3} \)･･･(*1)
\( \displaystyle q_{n+1}=p_n\times\frac{1}{2}+ q_n\times\frac{1}{3}+ r_n\times\frac{1}{2} \)･･･(*2)
\( \displaystyle r_{n+ 1}=q_n\times\frac{1}{3}+ r_n\times\frac{1}{2} \)･･･(*3)
(*1)+(*2)+(*3)より
\( \displaystyle p_{n+ 1}+ q_{n+ 1}+ r_{n+ 1}=p_n+ q_n+ r_n \)
したがって
\( \displaystyle p_n+ q_n+ r_n=\cdots=p_0+ q_0+ r_0=1 \)
(*2)に代入すると
\( \displaystyle q_{n+ 1}=p_n\times\frac{1}{2}+ q_n\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(1-p_n-q_n) \)
\( \displaystyle q_{n+ 1}=-\frac{1}{6}q_n+\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle q_{n+1}-\frac{3}{7}=-\frac{1}{6}(q_n-\frac{3}{7}) \)
\( \displaystyle q_{n}-\frac{3}{7}=(q_1-\frac{3}{7})(-\frac{1}{6})^{n-1} \)
\( \displaystyle q_{n}=\frac{3}{7}+ \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1} \)･･･(*4)
また，(*1)−(*3)より
\( \displaystyle p_{n+ 1}-r_{n+ 1}=\frac{1}{2}(p_n-r_n) \)
\( \displaystyle p_{n}-r_{n}=(p_1-r_1)(\frac{1}{2})^{n-1}=(\frac{1}{2})^{n} \)･･･(*5)
(*4)(*5)を(*2)に代入する
\( \displaystyle \frac{3}{7}\!+\! \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n}=p_n\times\frac{1}{2}\!+\!\{\frac{3}{7}\!+\! \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1}\}\times\frac{1}{3} \)
\( \displaystyle +(p_n-(\frac{1}{2})^n)\times\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle p_n=\frac{2}{7}+\frac{3}{14}(-\frac{1}{6})^n+\frac{1}{2^{n+ 1}} \)
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